Математика для аналитиков — Введение в дата-аналитику

Процент — это одна сотая доля от чего-то целого. Для примера возьмем апельсин:

То же самое можно выразить дробями:

То же можно выразить в процентах:

Возьмем более практическую задачу — подсчет налогов. Представим, что мы пришли в магазин в Нью-Йорке купить 1 килограмм бананов за 1 доллар. При этом в американских магазине ценники не включают в себя налог — он подсчитывается отдельно на кассе. Другими словами, кассир добавит к покупке еще 20% налога.

Подсчитаем, во сколько обойдется такая покупка. Налог считается в виде доли от стартовой цены товара, поэтому нужно умножить цену за 1 килограмм на 20%, а затем прибавить получившуюся сумму к стартовой цене бананов:

Рассмотрим еще одну практическую задачу — конвертацию валюты.

Представим, что мы хотим обменять 500 долларов на евро на таких условиях:

Выясним, сколько евро мы получим. Для начала выразим 500 долларов в виде искомой суммы — их мы потратим на покупку евро и уплату банковской комиссии. Назовем эту искомую сумму переменной . Составим уравнение и решим его:

Начинаем решать уравнение:

Далее мы можем найти переменную :

Теперь мы знаем, что на покупку евро мы потратим примерно 487 долларов. Далее посчитаем комиссию банка. Для этого возьмем искомую сумму 500 долларов и вычтем из нее переменную , а затем переведем это число в евро:

На этом шаге выяснилось, что за услуги банка мы заплатим примерно 12 долларов. Осталось только выяснить, сколько евро мы получим. Умножаем количество долларов на курс обмена:

Задача решена: мы получим около 414,6 евро.

Подобные задачи можно решать так, как мы показали выше. Но есть и другие способы, которые мы рассмотрим далее. Можно выделить два способа найти процент.

Первый способ — математический. Сначала вычисляем 1% от числа, а потом умножаем его на нужную цифру процентов. Для примера найдем 5% от 200. Для этого вычисляем 1% и умножим его на 5:

Второй способ — бытовой. По опыту мы все знаем, каким дробям равны некоторые проценты:

Так можно не вычислять проценты, а просто умножить число на дробь. Решим этим способом пример выше:

Пока все еще выглядит просто и интуитивно понятно, но бывают и неочевидные задачи. Например, такая:

Попробуем решить эту задачу. В свежих огурцах было 99% воды, а оставшийся 1% приходился на сухое вещество. Другими словами, в 100 килограммах огурцов был 1 килограмм сухого вещества. Затем содержание воды снизилось на 1%. Количество сухого вещества не изменилось, но изменилась доля — 1 килограмм теперь составляет 2% от общей массы. Зная все это, мы приходим к таким выводам:

Узнаем, на сколько нужно умножить 1 килограмм сухого вещества, чтобы получить эквивалент 98% массы воды:

Затем прибавляем массу оставшегося на месте сухого вещества:

Результат выглядит контринтуитивно — содержание воды снизилось всего на 1%, а огурцов стало в два раза меньше. Эта задача показывает, что с процентами в реальном мире все не так очевидно.

В жизни городского жителя подсчет массы огурцов кажется не самой важной задачей. Но есть и более актуальные вопросы, связанные с процентами — например, сколько денег вы заплатите по кредиту или получите по вкладу в банке.

Есть два типа процентов — простые и сложные. Они зависят от того, будет ли прибавляться доход от процентов к общей сумме вклада, на которую начисляется итоговая выручка.

Представим, что доход от процентов не прибавляется. Тогда это вклад с простым процентом. Будущий доход вычисляется так:

Если доход от процентов прибавляется, то это вклад со сложным процентом. Формула изменится:

Эти формулы актуальны в случае, если проценты начисляются один раз в год. Если нет, то формула сложных процентов меняется таким образом:

Продумывая новое предложение для клиентов, банки предполагают, как часто клиенты будут снимать средства со вклада. В зависимости от этого они предлагают простую или сложную процентную ставку.

Это связано с ожидаемой доходностью банка при манипуляциях со средствами со счета. Например, банк сравнивает двух клиентов: один кладет деньги на год и не снимает, а другой постоянно выводит заработанные проценты. Со вторым клиентом банк не уверен, что он получит ожидаемую доходность, аналогичную прибыли от первого клиента. Подробнее об этом можно прочитать в статье Рассчитываем проценты по вкладу.

На практике могут встречаться разные задачи, связанные с процентами. Например, мы хотим посчитать, через какое время удвоится сумма на вкладе со сложным процентом.

Чтобы решить эту задачу, можно переставить местами переменные в формуле выше. А еще можно воспользоваться правилом 72 — разделить 72 на годовую процентную ставку и узнать срок удвоения суммы на вкладе.

Выбирая вклад, важно учитывать, какой процент вам предлагают — простой или сложный. От этого зависит ожидаемая доходность. Для примера представим, что мы хотим вложить 10000 рублей на 5 лет с годовой процентной ставкой 10%. Рассчитаем, сколько мы заработаем по вкладу с простым и сложным процентом.

Если проценты начисляются по простым процентам, то доход можно вычислить по формуле:

На вкладе с простым процентом мы заработаем 5000 рублей:

Если проценты начисляются по сложным процентам с ежемесячным начислением процентов, то доход можно вычислить по формуле:

В этом случае мы заработаем около 6453 рублей:

В этом уроке мы изучили всего одну тему — проценты. Но существует еще много тем из школьной и высшей математики, которые помогают аналитику данных решать свои типовые задачи. Еще в этот список можно включить темы из: