Введение — Функции

Функция — это черный ящик, в который помещают объекты, а выходят другие. Функция определяется двумя фундаментальными свойствами:

Функции важны в математике, потому что они описывают окружающий мир как систему. Все вокруг нас можно воспринимать как систему — то есть некую структуру, которая состоит из входов, обработки и выходов.

Разберем подробнее, что это значит. Возьмем для примера нервную систему человека:

Как видите, здесь есть вход, обработка и выход — так работают системы. То, что происходит на этапе обработки, можно назвать функцией. Например, прием сигналов и их обработка — это и есть функция нашего мозга.

Таких систем внутри человека много, поэтому тело — это система систем. Таким же образом устроено все вокруг нас: животные и растения, природные явления, человеческое общество, компании, науки, идеи и концепции. Разделяя окружающий мир на системы, мы пытаемся лучше понять его, выяснить его характеристики, выстроить свою линию поведения.

Разберем работу функций и ее свойства на примерах.

Для начала рассмотрим простой пример. Представьте классную комнату, в которой каждый ученик сидит на стуле. Мы можем узнать, на каком стуле сидит каждый ученик в классе. Для этого можно создать функцию и дать ей какое-то подходящее по смыслу название — например, .

Кроме таких простых задач, можно решать более неочевидные. Функцию можно задавать даже там, где у нас недостаточно информации.

Например, можно создать функцию — она принимает на вход любого человека из издания Британской энциклопедии и выводит его дату рождения. Точная дата известна не всегда, но она точно есть — поэтому такая функция может существовать.

Разберем еще один пример. Cоздадим функцию , которая принимает на вход имя человека и выводит упорядоченную пару родителей .

Обратите внимание, что в обратную сторону это не сработает. Не получится создать функцию , которая выбирает ребенка человека. Дело в том, что у некоторых людей нет детей — значит, в некоторых случаях ни один объект не может быть выведен.

Некоторые люди также имеют более одного ребенка, из которых можно выбирать. В этом случае функция не будет знать, какого ребенка выводить. Однако можно создать функцию , которая присваивает каждому человеку множество его детей. Если у человека нет детей, то результатом функции будет пустое множество .

Как видите, любую задачу можно представить в виде функции. Если у нас есть задача, к ней всегда можно придумать обозначения и представить всю задачу в виде функции.

А теперь посмотрим на примеры из математики.

Пример 1:

Это простая функция, потому что у нее мало переменных.

Пример 2:

В таком случае она будет называться функцией тождества на .

Пример 3:

Можно создать функцию , которая принимает на вход любое вещественное число и выдает целое число — другими словами, происходит усечение дробной части введенного числа:

Пример 4:

Похожим образом cработает функция , которая принимает на вход любое вещественное число и выводит наименьшее целое число, большее или равное введенному числу:

Эту функцию также называют функцией наибольшего целого числа.

Мы познакомились с простыми задачами, которые можно представить в виде функций, но бывают и более сложные случаи. Тогда нам требуются дополнительные термины, которые помогут лучше описать функцию. Познакомимся с базовой лексикой на примере функции из начала урока:

Область функции — это множество всех вещей, которые можно подать на вход, чтобы получить некоторый результат. Область обычно очевидна из определения функции. Например, область функции — это множество всех студентов в классе.

Область действия функции — это множество всех вещей, которые можно получить на выходе. Область действия — это множество всех занятых стульев в классе. Если известна область действия функции, можно определить ее диапазон, применяя функцию к каждому элементу области.

Кодомен функции — это множество всех значений, которые могут быть потенциальными выходами. Например, кодомен функции — это множество всех стульев в классе. Но также можно сказать, что кодомен — это множество всех занятых стульев.

Почему здесь есть разные варианты? Дело в том, что иногда кодомен нельзя определить только из описания функции. Нужно учитывать остальные обсуждения задачи. При менее формальном подходе кодомен определяется неявно. Например, кодоменом большинства функций неявно является , в других случаях он равен диапазону.

В этом уроке мы познакомились с понятием функции и узнали, зачем она применяется. Функцию часто определяют как черный ящик, но официально она считается правилом или видом множества. В этом курсе мы разберем оба определения. Также мы обсудим функцию как правило, ведь этот подход часто упоминается в курсах по программированию.