- Что такое составные функции
- Свойства составных функций
- Как решать составные функции
- Композиция функции с самой собой
- Выводы
Композиция функций — это процесс объединения двух или более функций в одну функцию. Функция представляет собой некоторое действие. Возьмем приготовление хлеба и переведем этот процесс на язык математики:
- Мука —
x
- Приготовление теста из муки с помощью кухонного комбайна —
g(x)
- Запекание хлеба в печи —
f(x)
- Приготовление хлеба — выход
g(x)
надо поместить в функциюf(x)
- Готовый хлеб — функция
f(g(x))
, то есть композиция функцийf(x)
иg(x)
В этом уроке мы как раз изучим эту тему — посмотрим, что такое композиция функций в математике и как ее вычислить.
Что такое составные функции
В математике составная функция — это операция, при которой две функции порождают новую функцию. В некоторых источниках то же самое явление называется композицией функции.
Возьмем такой простой пример:
- У нас есть две функции —
f
иg
- Вместе они порождают функцию
h
- Составной функцией будет считаться
h(x) = g(f(x))
Как видите в примере выше, функция g
применяется к функции f
. Другими словами, одна функция применяется к результату другой функции.
Давайте посмотрим на математическое определение составной функции:
- Пусть
f : A → B
иg : B → C
— две функции - Тогда составная функция будет состоять из
f
иg
— это обозначается какg ∘ f
- Составная функция
g ∘ f
определяется как функцияg ∘ f : A → C
- Функция
g ∘ f : A → C
задается черезg ∘ f (x) = g(f (x)), ∀ x ∈ A
На рисунке ниже показано графическое представление составных функций:
Порядок функции является важным моментом при работе с композицией функций, потому что выражения (f ∘ g) (x)
и (g ∘ f) (x)
не равны между собой.
Это можно очень хорошо понять на примере. Представим машину, которая сначала запекает торт, а затем украшает его глазурью. Будем рассматривать эти действия как функции:
- Запекание — функция
b
- Украшение — функция
i
Машина будет производить торт, используя b ∘ i
— сначала печь, затем украшать. Но если функции поменять местами (i ∘ f)
, то машина сначала украсит сырой торт, а сожжет его в печке вместе со всеми украшениями. Такая перестановка действий не сработает, поэтому нам нужны оба домена.
Теперь рассмотрим, как обозначаются составные функции и их области:
- Символ: В обозначении составных функций используется символ, похожий на маленький круг. Так это выглядит на практике —
(g∘f)(x)
- Домен:
f(g(x))
читается как «f
отg
отx
». В композиции(f ∘ g) (x)
домен функцииf
становитсяg(x)
- Область: это множество всех значений, которые входят в функцию
- Пример: Если
f(x) = 3x+1
иg(x) = x^2
, тоf
отg
отx, f(g(x)) = f(x^2) = 3x^2+1
Обратите внимание, что будет, если мы обратим операцию над функцией. Например, если мы возьмем g
от f
от x
, то в итоге получим g(f(x)) = g(3x+1) = (3x+1)^2
.
Свойства составных функций
У составных функций есть два основных свойства:
- Ассоциативное
- Коммутативное
Рассмотрим их подробнее.
Ассоциативное свойство:
Если есть три функции f, g
и h
, то составные функции считаются ассоциативными только тогда и только тогда, когда f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h
Коммутативное свойство:
Две функции f
и g
коммутативны друг с другом тогда и только тогда, когда g ∘ f = f ∘ g
Есть еще несколько свойств составных функций:
- Композиция функций один-к-одному всегда один к одному
- Композиция двух онто-функций всегда онто
- Обратная композиция двух функций
f
иg
равна композиции обратных обеих функций, например,(f ∘ g)^-1 = (g^-1 ∘ f^-1)
Как решать составные функции
В математике решение составной функции — это получение композиции двух функций. Выполним следующие шаги, чтобы понять, как это выглядит на практике.
Шаг 1: Возьмем две функции:
f(x) = x^2
g(x) = 3x
Запишем их в виде составной функции:
(f ∘ g) (x)
Также ее можно записать как f[g(x)]
.
Шаг 2: Возьмем переменную x, которая есть во внешней функции. Заменим ее внутренней функцией, взяв за основу отдельные функции:
Поскольку g(x) = 3x
, результат на этом шаге будет выглядеть так:
(f ∘ g)(x) = f(3x)
Шаг 3: Далее мы можем упростить функцию.
Поскольку f(x) = x^2
, результат на этом шаге будет выглядеть так:
(f ∘ g)(x) = f(3x) = (3x)^2=9x^2
Таким образом, мы за три шага решили составную функцию.
Композиция функции с самой собой
Также существуют составные функции, которые содержат композицию функции с самой собой.
Предположим, что f
— это функция. Тогда композиция функции f
с самой собой будет выглядеть так:
(f∘f)(x) = f(f(x))
Давайте разберемся в этом на практике. Возьмем такой пример:
Условие: f(x) = 3x^2
Исходя из этого условия, попробуем найти
(f∘f)(x)
.
Решение будет выглядеть так:
Дано: f(x) = 3x^2
(f∘f)(x) = f(f(x))
=f(3x^2)
=3(3x^2)^2
=3*9x^4
=27x^4
Выводы
В этом уроке мы рассмотрели композицию функций — это действие, при котором функции a
и b
объединяются для получения новой функции. Эта новая функция c
формулируется как c(x) = b(a(x))
.
Это означает, что функция b
применяется к функции x
. Другими словами, когда функция применяется к выходу другой функции, она называется составной функцией.
Самостоятельная работа
Задача 1
По условию нам дано:
f(x) = 2x
g(x) = x+1
Найдите (f∘g)(x)
, если x = 1
.
Сначала обращаемся к условию:
f (x) = 2x
g(x) = x+ 1
Вычисляем композицию f
из g
:
(f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = 2(x+1)
Теперь положим значение x = 1
:
f(g(1)) = 2(1+1) = 2 (2) = 4
Ответ: 4
Задача 2
По условию нам дано:
f(x) = 2x +1
g(x) = -x^2
Найдите (g∘f)(x)
для x = 2
.
Подставим значения из условия в выражение g(f(x))
:
g(f(x)) = g(2x+1) = -(2x+1)^2
Теперь положим x =2
:
g(f(2)) = -(2,2+1)^2
= -(4+1)^2
=-(5)^2
=-25
Ответ: -25
Задача 3
По условию у нас есть три функции:
f(x) = x
g(x) = 2x
h(x) = 3x
Найдите композицию этих функций [f ∘ (g ∘ h)] (x)
для x = -1
.
Подставим функции из условия в выражение [f ∘ (g ∘ h)] (x)
:
[f ∘ (g ∘ h)] (x) = f ∘ (g(h(x)))
= f ∘ g(3x)
=f(2(3x))
=f(6x)
=6x
Возьмем x = -1
:
[f ∘ (g ∘ h)
(-1) = 6(-1) = -6]
Ответ: -6

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.