- Что такое составные функции
- Свойства составных функций
- Как решать составные функции
- Композиция функции с самой собой
- Выводы
Композиция функций — это процесс объединения двух или более функций в одну функцию. Функция представляет собой некоторое действие. Возьмем приготовление хлеба и переведем этот процесс на язык математики:
-
Мука —
-
Приготовление теста из муки с помощью кухонного комбайна —
-
Запекание хлеба в печи —
-
Приготовление хлеба — выход надо поместить в функцию
-
Готовый хлеб — функция , то есть композиция функций и
В этом уроке мы как раз изучим эту тему — посмотрим, что такое композиция функций в математике и как ее вычислить.
Что такое составные функции
В математике составная функция — это операция, при которой две функции порождают новую функцию. В некоторых источниках то же самое явление называется композицией функции.
Возьмем такой простой пример:
-
У нас есть две функции — и
-
Вместе они порождают функцию
-
Составной функцией будет считаться
Как видите в примере выше, функция применяется к функции . Другими словами, одна функция применяется к результату другой функции.
Давайте посмотрим на математическое определение составной функции:
-
Пусть и — две функции
-
Тогда составная функция будет состоять из и — это обозначается как
-
Составная функция определяется как функция
-
Функция задается через
На рисунке ниже показано графическое представление составных функций:
Порядок функции является важным моментом при работе с композицией функций, потому что выражения и не равны между собой.
Это можно очень хорошо понять на примере. Представим машину, которая сначала запекает торт, а затем украшает его глазурью. Будем рассматривать эти действия как функции:
-
Запекание — функция
-
Украшение — функция
Машина будет производить торт, используя — сначала печь, затем украшать. Но если функции поменять местами , то машина сначала украсит сырой торт, а сожжет его в печке вместе со всеми украшениями. Такая перестановка действий не сработает, поэтому нам нужны оба домена.
Теперь рассмотрим, как обозначаются составные функции и их области:
-
Символ: В обозначении составных функций используется символ, похожий на маленький круг. Так это выглядит на практике —
-
Домен: читается как « от от ». В композиции домен функции становится
-
Область: это множество всех значений, которые входят в функцию
-
Пример: Если и , то от от
Обратите внимание, что будет, если мы обратим операцию над функцией. Например, если мы возьмем от от , то в итоге получим .
Свойства составных функций
У составных функций есть два основных свойства:
-
Ассоциативное
-
Коммутативное
Рассмотрим их подробнее.
Ассоциативное свойство:
Если есть три функции и , то составные функции считаются ассоциативными только тогда и только тогда, когда
Коммутативное свойство:
Две функции и коммутативны друг с другом тогда и только тогда, когда
Есть еще несколько свойств составных функций:
-
Композиция функций один-к-одному всегда один к одному
-
Композиция двух онто-функций всегда онто
-
Обратная композиция двух функций и равна композиции обратных обеих функций, например,
Как решать составные функции
В математике решение составной функции — это получение композиции двух функций. Выполним следующие шаги, чтобы понять, как это выглядит на практике.
Шаг 1: Возьмем две функции:
Запишем их в виде составной функции:
Также ее можно записать как .
Шаг 2: Возьмем переменную x, которая есть во внешней функции. Заменим ее внутренней функцией, взяв за основу отдельные функции:
Поскольку , результат на этом шаге будет выглядеть так:
Шаг 3: Далее мы можем упростить функцию.
Поскольку , результат на этом шаге будет выглядеть так:
Таким образом, мы за три шага решили составную функцию.
Композиция функции с самой собой
Также существуют составные функции, которые содержат композицию функции с самой собой.
Предположим, что — это функция. Тогда композиция функции с самой собой будет выглядеть так:
Давайте разберемся в этом на практике. Возьмем такой пример:
Условие:
Исходя из этого условия, попробуем найти .
Решение будет выглядеть так:
Дано:
Выводы
В этом уроке мы рассмотрели композицию функций — это действие, при котором функции и объединяются для получения новой функции. Эта новая функция формулируется как .
Это означает, что функция применяется к функции . Другими словами, когда функция применяется к выходу другой функции, она называется составной функцией.
Самостоятельная работа
Задача 1
По условию нам дано:
Найдите , если .
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Сначала обращаемся к условию:
Вычисляем композицию из :
Теперь положим значение :
Ответ:
Задача 2
По условию нам дано:
Найдите для .
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Подставим значения из условия в выражение :
Теперь положим :
Ответ:
Задача 3
По условию у нас есть три функции:
Найдите композицию этих функций для .
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Подставим функции из условия в выражение :
Возьмем :
(-1) = 6(-1) = -6]
Ответ:
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
- Статья «Как учиться и справляться с негативными мыслями»
- Статья «Ловушки обучения»
- Статья «Сложные простые задачи по программированию»
- Вебинар «Как самостоятельно учиться»
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
