- Что такое равные функции
- Как определяется равенство функций
- Ограничения функций
- Булевы функции и комбинаторные сети
- Выводы
Два числа равны, если они представляют собой одно и то же число. Две переменные равны, если они представляют собой одно и то же число. Следуя этим очевидным понятиям, мы можем сказать, что две функции равны, если они представляют собой одну и ту же функцию.
Но все не так очевидно: само понятие «равные функции» указывает на то, что существует более одного способа представления функции. Другими словами, вопрос о равенстве двух функций возникает, когда две формы функции дают одинаковые значения. Это происходит, потому что есть альтернативные способы представления одной и той же математической сущности.
В математике такие случаи иногда встречаются. В этом уроке мы рассмотрим их подробнее и выясним, что такое равные функции и как использовать их.
Что такое равные функции
Для начала рассмотрим функцию модуля. Возьмем два эквивалентных выражения:
Эти две формы функции дают одинаковые значения для всех действительных значений . Таким образом, эти две функции и являются равными функциями.
С другой стороны, существуют эквивалентные формы — они представляют одинаковые значения, но не для всех значений в областях двух определений. Рассмотрим такой пример:
Логарифмическая функция определена для . Это означает, что ее область — это . При этом для логарифмической функции областью будет .
Это неравенство справедливо для всех значений , кроме . Значит, область .
Очевидно, что домены двух функций не равны: для значения функция дает значение, при этом функция не определена для этого значения .
Таким образом, два уравнения не равны. Однако две функции равны, если мы ограничим рассмотрение домена пересечением двух доменов. Следовательно:
Существует еще одна возможность. Две эквивалентные формы имеют одинаковые домены, но дают разный набор значений. В этом случае две функции также не равны.
Как определяется равенство функций
Чтобы вычислить равенство функции, используют два способа:
-
Обычный
-
Категориальный
Разберем каждый способ подробнее.
Обычный способ определения равенства функции
Информация в функции состоит из:
-
Входов, которые мы можем ей предоставить
-
Выходов, которые эти входы производят
Математики определяют функцию как набор пар элементов , где появляющиеся — возможные входы, а пара находится в наборе, если является выходом для входа .
Есть разница между функцией и просто отношением. В случае с функцией для данного , который является возможным входом, существует только одна пара . То есть у каждого входа есть уникальный выход.
Множество , которые появляются, называется областью функции, а множество — диапазоном функции. В итоге равенство функций сводится к понятию равенства множеств: две функции или два набора пар равны, если они равны как множества — содержат одинаковые пары.
У равных функций обязательно есть равные области и диапазоны. Обычно начинают с множества и множества и определяют функцию от к как подмножество декартово произведения , такое, что множество , которые появляются в паре в , состоит из всего , и для каждого в существует ровно один в , такой, что находится в .
Категориальный способ определения равенства функции
Этот способ мышления наиболее заметен, когда человек рассматривает вещи с точки зрения теории категорий, а не просто теории множеств. Рассмотрим функцию от множества действительных чисел к самой себе. Она задана формулой . Область действия этой функции — множество действительных чисел — неотрицательных действительных чисел.
Теперь рассмотрим функцию от множества действительных чисел к множеству неотрицательных действительных чисел. Она задана формулой . Равна ли функция формуле ? Как множества — они одинаковы, поэтому по общему определению, приведенному выше, они равны. Но есть ситуации, когда необходимо провести различие между этими двумя понятиями.
Если начать с множества и множества и говорить, что — это функция от к , то называется доменом, а — кодоменом .
В категориальном мышлении функция — это не просто набор пар. Это набор пар вместе с информацией о его кодомене. Две функции считаются равными, если они равны как множества, и их кодомены равны. Получается, что функции и не считаются равными. Это называется категориальным способом мышления, потому что в теории категорий примитивными вещами являются не множества, а так называемые объекты. Функция между этими объектами называется морфизмом. Она тоже считается примитивным объектом.
Обычно об объектах думают как об абстрактных вещах, а о морфизмах — как о стрелках между этими вещами. В некоторых контекстах объекты являются реальными множествами, а морфизмы — реальными функциями между этими множествами. Но в других случаях объекты не будут множествами, как и функции.
Поскольку функции определяются как подмножества произведения двух множеств — как множества упорядоченных пар — две функции равны, когда они равны как множества. Рассмотрим такое определение:
Пусть — две функции. Функции и равны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковые упорядоченные пары
Существует теорема, которая выводит ряд правил для эквивалентных функций. Приведем ее вывод:
Пусть и — функции, такие, что . Тогда:
-
Домен = домен
-
Диапазон = диапазон
-
Для каждого ,
Ограничения функций
Рассмотрим такой пример — нужно написать алгоритм для вычисления для .
Введем такое ограничение — в качестве входных данных должны использоваться только натуральные числа. Уже этим утверждением можно заставить тот же алгоритм определить , функцию от до .
Это пример ограничения функции на меньшую область. Посмотрим, как эта же мысль выражается в формальном определении:
Пусть:
-
и — это множества, такие, что
-
— функция
В таком случае ограничение на будет обозначаться как .
Обозначим функцию из в , определенную как множество:
Ниже показаны два примера ограничений функции :
Булевы функции и комбинаторные сети
В булевой алгебре используются двоичные переменные и логические операции. Алгебраическое выражение известно как булево выражение, оно используется для описания булевой функции. Булево выражение состоит из постоянного значения и , символов логических операций и двоичных переменных.
Эквивалентность для булевых функций определяется так:
Булева функция от булевых переменных — это функция вида:
Область содержит элементов. Каждому элементу упорядоченных -кортежей присваивается значение или . Пример булевой функции на трех булевых переменных приведен в таблице:
p |
q |
r |
F(p, q, r) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Булевы функции могут представлять собой набор переключателей, которые реагируют соответствующим образом. Также это может быть набор условий, которые нужно выполнить для определенных действий.
Иногда удобно представлять функции в виде таблицы. Но проблема часто заключается в том, чтобы встроить эту функцию в комбинаторную сеть.
Посмотрим, как представить функцию в терминах одной из этих нормальных форм.
Для функции из таблицы дизъюнктивная нормальная форма имеет вид:
Комбинаторная схема — это схема, показанная на рисунке:
Обратите внимание, что у ворот есть несколько входов. Это сделано для удобства или по другим причинам. Мы также можем записать ворота с тремя входами как набор ворот с двумя входами каждый, как показано на рисунке ниже:
Выводы
В этом уроке мы рассмотрели решения эквивалентных уравнений на заданном интервале. Повторим главную мысль урока — две функции можно считать равными, если они имеют эквивалентные домен и кодомен. Их значения также должны быть одинаковыми для всех элементов области.
Самостоятельная работа
Задача №1
Определите, являются ли и тождественными функциями:
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Эти формы функции эквивалентны, потому что при упрощении сводится к .
Теперь выражение определено для всех значений , кроме .
Таким образом, область . С другой стороны, область взаимно обратных функций также . Так мы доказали, что две данные функции равны.
Задача №2
Определите, являются ли и тождественными функциями:
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Две формы функции эквивалентны, потому что при упрощении меняется на и наоборот. Итак, определена для и
Но всегда положительно. Следовательно, область . С другой стороны, определена для:
Таким образом, область также равна . Следовательно, две функции идентичны.
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
