Зарегистрируйтесь для доступа к 15+ бесплатным курсам по программированию с тренажером

Равенство Функции

Два числа равны, если они представляют собой одно и то же число. Две переменные равны, если они представляют собой одно и то же число. Следуя этим очевидным понятиям, мы можем сказать, что две функции равны, если они представляют собой одну и ту же функцию.

Но все не так очевидно: само понятие «равные функции» указывает на то, что существует более одного способа представления функции. Другими словами, вопрос о равенстве двух функций возникает, когда две формы функции дают одинаковые значения. Это происходит, потому что есть альтернативные способы представления одной и той же математической сущности.

В математике такие случаи иногда встречаются. В этом уроке мы рассмотрим их подробнее и выясним, что такое равные функции и как использовать их.

Что такое равные функции

Для начала рассмотрим функцию модуля. Возьмем два эквивалентных выражения:

Эти две формы функции дают одинаковые значения для всех действительных значений . Таким образом, эти две функции и являются равными функциями.

С другой стороны, существуют эквивалентные формы — они представляют одинаковые значения, но не для всех значений в областях двух определений. Рассмотрим такой пример:

Логарифмическая функция определена для . Это означает, что ее область — это . При этом для логарифмической функции областью будет .

Это неравенство справедливо для всех значений , кроме . Значит, область .

Очевидно, что домены двух функций не равны: для значения функция дает значение, при этом функция не определена для этого значения .

Таким образом, два уравнения не равны. Однако две функции равны, если мы ограничим рассмотрение домена пересечением двух доменов. Следовательно:

Существует еще одна возможность. Две эквивалентные формы имеют одинаковые домены, но дают разный набор значений. В этом случае две функции также не равны.

Как определяется равенство функций

Чтобы вычислить равенство функции, используют два способа:

  • Обычный

  • Категориальный

Разберем каждый способ подробнее.

Обычный способ определения равенства функции

Информация в функции состоит из:

  • Входов, которые мы можем ей предоставить

  • Выходов, которые эти входы производят

Математики определяют функцию как набор пар элементов , где появляющиеся — возможные входы, а пара находится в наборе, если является выходом для входа .

Есть разница между функцией и просто отношением. В случае с функцией для данного , который является возможным входом, существует только одна пара . То есть у каждого входа есть уникальный выход.

Множество , которые появляются, называется областью функции, а множество диапазоном функции. В итоге равенство функций сводится к понятию равенства множеств: две функции или два набора пар равны, если они равны как множества — содержат одинаковые пары.

У равных функций обязательно есть равные области и диапазоны. Обычно начинают с множества и множества и определяют функцию от к как подмножество декартово произведения , такое, что множество , которые появляются в паре в , состоит из всего , и для каждого в существует ровно один в , такой, что находится в .

Категориальный способ определения равенства функции

Этот способ мышления наиболее заметен, когда человек рассматривает вещи с точки зрения теории категорий, а не просто теории множеств. Рассмотрим функцию от множества действительных чисел к самой себе. Она задана формулой . Область действия этой функции — множество действительных чисел — неотрицательных действительных чисел.

Теперь рассмотрим функцию от множества действительных чисел к множеству неотрицательных действительных чисел. Она задана формулой . Равна ли функция формуле ? Как множества — они одинаковы, поэтому по общему определению, приведенному выше, они равны. Но есть ситуации, когда необходимо провести различие между этими двумя понятиями.

Если начать с множества и множества и говорить, что — это функция от к , то называется доменом, а — кодоменом .

В категориальном мышлении функция — это не просто набор пар. Это набор пар вместе с информацией о его кодомене. Две функции считаются равными, если они равны как множества, и их кодомены равны. Получается, что функции и не считаются равными. Это называется категориальным способом мышления, потому что в теории категорий примитивными вещами являются не множества, а так называемые объекты. Функция между этими объектами называется морфизмом. Она тоже считается примитивным объектом.

Обычно об объектах думают как об абстрактных вещах, а о морфизмах — как о стрелках между этими вещами. В некоторых контекстах объекты являются реальными множествами, а морфизмы — реальными функциями между этими множествами. Но в других случаях объекты не будут множествами, как и функции.

Поскольку функции определяются как подмножества произведения двух множеств — как множества упорядоченных пар — две функции равны, когда они равны как множества. Рассмотрим такое определение:

Пусть — две функции. Функции и равны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковые упорядоченные пары

Существует теорема, которая выводит ряд правил для эквивалентных функций. Приведем ее вывод:

Пусть и — функции, такие, что . Тогда:

  • Домен = домен

  • Диапазон = диапазон

  • Для каждого ,

Ограничения функций

Рассмотрим такой пример — нужно написать алгоритм для вычисления для .

Введем такое ограничение — в качестве входных данных должны использоваться только натуральные числа. Уже этим утверждением можно заставить тот же алгоритм определить , функцию от до .

Это пример ограничения функции на меньшую область. Посмотрим, как эта же мысль выражается в формальном определении:

Пусть:

  • и — это множества, такие, что

  • — функция

В таком случае ограничение на будет обозначаться как .

Обозначим функцию из в , определенную как множество:

Ниже показаны два примера ограничений функции :

eyJpZCI6ImRlY2EwNjJiMjlhMTNmOGE0MmY2YTUzNDY3ZmI5NzExLnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=adbec0a39bb2c1f562f1c0b0cd1e771a351cca501c920f0c20fc645cee66215e

Булевы функции и комбинаторные сети

В булевой алгебре используются двоичные переменные и логические операции. Алгебраическое выражение известно как булево выражение, оно используется для описания булевой функции. Булево выражение состоит из постоянного значения и , символов логических операций и двоичных переменных.

Эквивалентность для булевых функций определяется так:

Булева функция от булевых переменных — это функция вида:

Область содержит элементов. Каждому элементу упорядоченных -кортежей присваивается значение или . Пример булевой функции на трех булевых переменных приведен в таблице:

p

q

r

F(p, q, r)

1

1

1

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

0

Булевы функции могут представлять собой набор переключателей, которые реагируют соответствующим образом. Также это может быть набор условий, которые нужно выполнить для определенных действий.

Иногда удобно представлять функции в виде таблицы. Но проблема часто заключается в том, чтобы встроить эту функцию в комбинаторную сеть.

Посмотрим, как представить функцию в терминах одной из этих нормальных форм.

Для функции из таблицы дизъюнктивная нормальная форма имеет вид:

Комбинаторная схема — это схема, показанная на рисунке:

eyJpZCI6IjI5MmYzZDNhYTY0Nzk5YTgwYjc0OWJlMjA5YmMwMDUxLnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=2780022f168ee63c8a5c02536a888823f388826adcee93d975b56042cdad1f2c

Обратите внимание, что у ворот есть несколько входов. Это сделано для удобства или по другим причинам. Мы также можем записать ворота с тремя входами как набор ворот с двумя входами каждый, как показано на рисунке ниже:

eyJpZCI6IjExY2JjNjUxNDkwZDFkZmYwMGNkNGNiOWM1MDYxMGVlLnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=24a42e05ca0f2a836c66337c3f8501c4b9db94aa0467c62523b7a933a4bacd07

Выводы

В этом уроке мы рассмотрели решения эквивалентных уравнений на заданном интервале. Повторим главную мысль урока — две функции можно считать равными, если они имеют эквивалентные домен и кодомен. Их значения также должны быть одинаковыми для всех элементов области.


Самостоятельная работа

Задача №1

Определите, являются ли и тождественными функциями:

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Эти формы функции эквивалентны, потому что при упрощении сводится к .

Теперь выражение определено для всех значений , кроме .

Таким образом, область . С другой стороны, область взаимно обратных функций также . Так мы доказали, что две данные функции равны.

Задача №2

Определите, являются ли и тождественными функциями:

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Две формы функции эквивалентны, потому что при упрощении меняется на и наоборот. Итак, определена для и

Но всегда положительно. Следовательно, область . С другой стороны, определена для:

Таким образом, область также равна . Следовательно, две функции идентичны.


Аватары экспертов Хекслета

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты

Об обучении на Хекслете

Для полного доступа к курсу нужен базовый план

Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.

Получить доступ
1000
упражнений
2000+
часов теории
3200
тестов

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

  • 130 курсов, 2000+ часов теории
  • 1000 практических заданий в браузере
  • 360 000 студентов
Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»

Наши выпускники работают в компаниях:

Логотип компании Альфа Банк
Логотип компании Aviasales
Логотип компании Yandex
Логотип компании Tinkoff

Используйте Хекслет по-максимуму!

  • Задавайте вопросы по уроку
  • Проверяйте знания в квизах
  • Проходите практику прямо в браузере
  • Отслеживайте свой прогресс

Зарегистрируйтесь или войдите в свой аккаунт

Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»
Изображение Тото

Задавайте вопросы, если хотите обсудить теорию или упражнения. Команда поддержки Хекслета и опытные участники сообщества помогут найти ответы и решить задачу