Зарегистрируйтесь для доступа к 15+ бесплатным курсам по программированию с тренажером

Возрастающие и убывающие функции Функции

Ранее в курсе мы уже рассматривали разные свойства функций. Сегодня мы разберем еще одно свойство — возрастание и убывание.

В этом уроке мы рассмотрим понятие возрастающей и убывающей функций, их свойства, графическое представление, теоремы для проверки возрастающих и убывающих функций, а также примеры для лучшего понимания.

Возрастающие и убывающие функции

Возрастающие и убывающие функции — это функции, для которых значение производной увеличивается и уменьшается соответственно с изменением значения x.

Рассмотрим подробнее, что значит это определение. Для проверки поведения возрастающих и убывающих функций используется производная функции . Считается, что:

  • Функция возрастает, если значение увеличивается с ростом значения

  • Функция убывает, если значение уменьшается с ростом значения x

Давайте рассмотрим формальные определения возрастающей и убывающей функции, чтобы понять их смысл.

Во всех определениях выше соблюдаются общие условия. Возрастание и убывание функции рассматривается:

  • На интервале

  • Для любых двух значений и в

  • Если значение

А теперь рассмотрим сами определения:

  1. Возрастающая функция — функция возрастает, если

  2. Убывающая функция — функция убывает, если

  3. Строго возрастающая функция — функция строго возрастает, если

  4. Строго убывающая функция — функция строго убывает, если

Правила проверки функций

Чтобы проверить возрастание и убывание, можно использовать производную функции. Посмотрим, как это работает на практике.

Предположим, что функция дифференцируема на открытом интервале , тогда она определяется так:

  • Если на , то функция является возрастающей на

  • Если на , то функция является убывающей функцией на

Чтобы разобраться подробнее, возьмем такой пример:

  1. Рассмотрим , определенную для всех действительных чисел

  2. Производная от имеет вид

  3. Мы знаем, что квадрат числа всегда больше или равен , поэтому для всех

  4. Следовательно, — возрастающая функция

Возрастание и убывание на графике

Теперь мы знаем значение и определение возрастающих и убывающих функций. Дальше давайте посмотрим на графическое представление возрастающих и убывающих функций, которое поможет нам понять поведение функций.

Кроме производной, есть еще один способ определить возрастание и убывание функции. Можно взглянуть на ее график:

  • Функция возрастает, если график идет вверх по мере продвижения к правой стороне оси

  • Функция убывает, график идет вниз по мере продвижения к правой стороне оси

Посмотрите на этот пример:

eyJpZCI6IjdhMmEzNmJmMDY5ZWE0ZDEzN2JjMWZiNWE4MTFlZGFhLnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=8e1a54c88f1e9393f45fc2ff6e1bdef4ee37f84a872967b642ada498a9004078

На приведенных выше графиках показано графически представлены все четыре типа функций:

  • Строго возрастающая

  • Строго убывающая

  • Возрастающая

  • Убывающая

Как видно из графиков, возрастающая функция ведет себя по-разному:

  • В одних частях графика есть строго возрастающие интервалы

  • В других частях графика есть интервалы, где функция постоянна

Аналогично, убывающая функция состоит из интервалов, где функция строго убывает и где функция постоянна.

Свойства возрастающих и убывающих функций

Выше вы научились проверять, является ли функция возрастающей или убывающей.

Теперь давайте рассмотрим алгебраические свойства возрастающих и убывающих функций. Они помогут вам проводить операции с функциями.

Есть два свойства, связанные с суммами:

  • Если функции и являются возрастающими на открытом интервале , то сумма функций также возрастает на этом интервале

  • Если функции и — убывающие функции на открытом интервале , то сумма функций также убывает на этом интервале

Еще два свойства связаны с произведениями:

  • Если функции и — возрастающие функции на открытом интервале и , на , то произведение функций также возрастает на этом интервале

  • Если функции и — убывающие функции на открытом интервале и на , то произведение функций также убывает на этом интервале

Еще несколько свойств связаны с обратными функциями:

  • Если функция — возрастающая функция на открытом интервале , то обратная функция убывает на этом интервале

  • Если функция — убывающая функция на открытом интервале , то противоположная функция — возрастающая на этом интервале

  • Если функция — возрастающая функция на открытом интервале , то обратная функция убывает на этом интервале

  • Если функция — убывающая функция на открытом интервале , то обратная функция возрастает на этом интервале

Выводы

В этом уроке мы узнали, как работают возрастающие и убывающие функции. Теперь мы умеет определять это свойство двумя способами — через производную и по графику. Также мы познакомились со свойствами возрастающих и убывающих функций — они помогут вам проводить операции с функциями.


Аватары экспертов Хекслета

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты

Об обучении на Хекслете

Для полного доступа к курсу нужен базовый план

Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.

Получить доступ
1000
упражнений
2000+
часов теории
3200
тестов

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

  • 130 курсов, 2000+ часов теории
  • 1000 практических заданий в браузере
  • 360 000 студентов
Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»

Наши выпускники работают в компаниях:

Логотип компании Альфа Банк
Логотип компании Aviasales
Логотип компании Yandex
Логотип компании Tinkoff

Используйте Хекслет по-максимуму!

  • Задавайте вопросы по уроку
  • Проверяйте знания в квизах
  • Проходите практику прямо в браузере
  • Отслеживайте свой прогресс

Зарегистрируйтесь или войдите в свой аккаунт

Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»
Изображение Тото

Задавайте вопросы, если хотите обсудить теорию или упражнения. Команда поддержки Хекслета и опытные участники сообщества помогут найти ответы и решить задачу