Теория: Обратные функции

В этом уроке мы узнаем об обратных функциях. Мы разберем, что такое обратная функция и как ее найти.

Такие функции нужны для решения уравнений типа y=f(x). Например, уравнение cos(x) =1/3 можно решить только таким образом.

Что такое обратная функция

Для начала скажем, что обратной называют функцию, которая может превратиться в другую функцию. Проще говоря, если любая функция f переводит x в y, то обратная f переведет y в x.

Если функция обозначается f или F, то обратная функция обозначается f^(-1) или F^(-1). Здесь не следует путать -1 с экспонентой или взаимно обратным показателем.

Формальное определение будет звучать так:

Если f и g — обратные функции, то f(x) = y тогда и только тогда, когда g(y) = x

Обратная функция часто используется в математике — например, в тригонометрии. С ее помощью можно найти меру угла, для которого функция синуса дала значение. Так это выглядит:

sin^(-1)(1) = sin^(-1)(sin 90) = 90 градусов Следовательно, sin 90 градусов равен 1

Как определить обратную функцию

Обычная функция принимает значения, выполняет определенные операции над этими значениями и выдает результат.

Обратная функция согласуется с результирующей, выполняет операции и возвращается к исходной функции. Обратная функция возвращает исходное значение, для которого функция дала выход.

Если рассматривать функции, то f и g считаются обратными:

f(g(x)) = g(f(x)) = x

Функция, состоящая из своих обратных, возвращает исходное значение. Так это выглядит на практике:

f(x) = 2x + 5 = y

В таком случае g(y) = (y-5)/2 = x является обратной функцией f(x).

Как строить график обратной функции

График обратной функции отражает две вещи:

• Сама функция
• Обратная функция, проведенная через линию y = x

Эта линия на графике проходит через начало координат и имеет наклон 1. Она может быть представлена как:

y = f^(-1)(x)

Выражение выше равносильно такому выражению:

x = f(y)

Это соотношение немного похоже на y = f(x), которое определяет график f. Но обратите внимание на разницу — части x и y поменялись местами. Поэтому если нам нужно построить график f^(-1), то мы должны поменять местами оси x и y.

Когда мы создаем обратную функцию от исходной, меняется и область на графике. Область исходной функции становится областью обратной функции, а область заданной функции становится областью обратной функции.

График обратной функции получается так: нужно взять исходный график и заменить его координаты (x, y) на (y, x) относительно прямой y = x.

Переход от функции к обратной функции выглядит так:

f^(-1)(f o f^(-1)) (x) = (f^(-1) o f) (x) = x

Чтобы функция f считалась обратной функцией, каждый элемент в диапазоне y в Y должен быть отображен из некоторого элемента x в X в доменное множество. Такое отношение называется отношением один-один или отношением запрета.

Также обратная функция f^(-1) данной функции имеет область y в Y, связанную с отдельным элементом x в X в кодоменном множестве. Такое отношение по отношению к данной функции f является онто-функцией или сюръекцией.

А еще существуют биективные функции — так называют обратные функции, которые являются инъюнктивными и сюръективными.

Что такое инверсия функций

Если в результате композиции двух функций f(x) и g(x) получается тождественная функция f(g(x))= x, то говорят, что эти две функции являются инверсиями друг друга.

Если применение функции x к входу дает n выход y, то применение другой функции g к y должно вернуть значение x. Следовательно, обратная функция обращает функцию. Область данной функции становится областью обратной функции, а область данной функции становится областью обратной функции.

В общем, обратная функция — это отражение функции начала координат относительно прямой y = x. Ее можно получить, заменив (x, y) на (y, x).

Если даны графики двух функций, можно определить, являются ли они обратными друг другу. Если графики обеих функций симметричны относительно прямой y = x, то мы говорим, что эти две функции являются обратными друг другу. Это объясняется тем, что если (x, y) лежит на функции, то (y, x) лежит на ее обратной функции:

Обратная функция — это любая функция, которая никогда не принимает одно и то же значение дважды. Другими словами, для каждого значения x существует только одно значение y. Это означает, что каждый элемент кодомена является образом не более чем одного элемента его области.

Кроме того, обратная функция проходит тесты на вертикальную линию и горизонтальную линию:

Никакая горизонтальная линия не пересекает ее график более одного раза. Таким образом, никакие два элемента в домене не соответствуют одному и тому же элементу в диапазоне

Как найти обратную функцию

Разберемся, как находить обратную функцию. Для этого мы возьмем такой пример:

f(x) = ax + b

Пройдем весь процесс по шагам.

Шаг 1. Возьмем заданную функцию f(x) = ax + b и заменим в ней f(x) на y. Так мы получим такое выражение:

y = ax + b

Шаг 2. Далее возьмем функцию y = ax + b. В ней мы заменим x на y, а y — на x. Получится такое выражение:

x = ay + b

Шаг 3. Далее попробуем решить выражение x = ay + b для y. На этом шаге мы получим:

y = (x - b/a)

Шаг 4. В конце заменяем y на f^(-1)(x). В итоге получаем такой результат:

f^(-1)(x) = (x - b)/a