- Что такое обратная функция
- Как определить обратную функцию
- Как строить график обратной функции
- Что такое инверсия функций
- Как найти обратную функцию
В этом уроке мы узнаем об обратных функциях. Мы разберем, что такое обратная функция и как ее найти.
Такие функции нужны для решения уравнений типа y=f(x)
. Например, уравнение cos(x) =1/3
можно решить только таким образом.
Что такое обратная функция
Для начала скажем, что обратной называют функцию, которая может превратиться в другую функцию. Проще говоря, если любая функция f
переводит x
в y
, то обратная f
переведет y
в x
.
Если функция обозначается f
или F
, то обратная функция обозначается f^(-1)
или F^(-1)
. Здесь не следует путать -1
с экспонентой или взаимно обратным показателем.
Формальное определение будет звучать так:
Если f
и g
— обратные функции, то f(x) = y
тогда и только тогда, когда g(y) = x
Обратная функция часто используется в математике — например, в тригонометрии. С ее помощью можно найти меру угла, для которого функция синуса дала значение. Так это выглядит:
sin^(-1)(1) = sin^(-1)(sin 90) = 90
градусов
Следовательно, sin 90
градусов равен 1
Как определить обратную функцию
Обычная функция принимает значения, выполняет определенные операции над этими значениями и выдает результат.
Обратная функция согласуется с результирующей, выполняет операции и возвращается к исходной функции. Обратная функция возвращает исходное значение, для которого функция дала выход.
Если рассматривать функции, то f
и g
считаются обратными:
f(g(x)) = g(f(x)) = x
Функция, состоящая из своих обратных, возвращает исходное значение. Так это выглядит на практике:
f(x) = 2x + 5 = y
В таком случае g(y) = (y-5)/2 = x
является обратной функцией f(x)
.
Как строить график обратной функции
График обратной функции отражает две вещи:
- Сама функция
- Обратная функция, проведенная через линию
y = x
Эта линия на графике проходит через начало координат и имеет наклон 1
. Она может быть представлена как:
y = f^(-1)(x)
Выражение выше равносильно такому выражению:
x = f(y)
Это соотношение немного похоже на y = f(x)
, которое определяет график f
. Но обратите внимание на разницу — части x
и y
поменялись местами. Поэтому если нам нужно построить график f^(-1)
, то мы должны поменять местами оси x
и y
.
Когда мы создаем обратную функцию от исходной, меняется и область на графике. Область исходной функции становится областью обратной функции, а область заданной функции становится областью обратной функции.
График обратной функции получается так: нужно взять исходный график и заменить его координаты (x, y)
на (y, x)
относительно прямой y = x
.
Переход от функции к обратной функции выглядит так:
f^(-1)(f o f^(-1)) (x) = (f^(-1) o f) (x) = x
Чтобы функция f
считалась обратной функцией, каждый элемент в диапазоне y
в Y
должен быть отображен из некоторого элемента x
в X
в доменное множество. Такое отношение называется отношением один-один или отношением запрета.
Также обратная функция f^(-1)
данной функции имеет область y
в Y
, связанную с отдельным элементом x
в X
в кодоменном множестве. Такое отношение по отношению к данной функции f
является онто-функцией или сюръекцией.
А еще существуют биективные функции — так называют обратные функции, которые являются инъюнктивными и сюръективными.
Что такое инверсия функций
Если в результате композиции двух функций f(x)
и g(x)
получается тождественная функция f(g(x))= x
, то говорят, что эти две функции являются инверсиями друг друга.
Если применение функции x
к входу дает n
выход y
, то применение другой функции g
к y
должно вернуть значение x
. Следовательно, обратная функция обращает функцию. Область данной функции становится областью обратной функции, а область данной функции становится областью обратной функции.
В общем, обратная функция — это отражение функции начала координат относительно прямой y = x
. Ее можно получить, заменив (x, y)
на (y, x)
.
Если даны графики двух функций, можно определить, являются ли они обратными друг другу. Если графики обеих функций симметричны относительно прямой y = x, то мы говорим, что эти две функции являются обратными друг другу. Это объясняется тем, что если (x, y)
лежит на функции, то (y, x)
лежит на ее обратной функции:
Обратная функция — это любая функция, которая никогда не принимает одно и то же значение дважды. Другими словами, для каждого значения x
существует только одно значение y
. Это означает, что каждый элемент кодомена является образом не более чем одного элемента его области.
Кроме того, обратная функция проходит тесты на вертикальную линию и горизонтальную линию:
Никакая горизонтальная линия не пересекает ее график более одного раза. Таким образом, никакие два элемента в домене не соответствуют одному и тому же элементу в диапазоне
Как найти обратную функцию
Разберемся, как находить обратную функцию. Для этого мы возьмем такой пример:
f(x) = ax + b
Пройдем весь процесс по шагам.
Шаг 1. Возьмем заданную функцию f(x) = ax + b
и заменим в ней f(x)
на y
. Так мы получим такое выражение:
y = ax + b
Шаг 2. Далее возьмем функцию y = ax + b
. В ней мы заменим x
на y
, а y
— на x
. Получится такое выражение:
x = ay + b
Шаг 3. Далее попробуем решить выражение x = ay + b
для y
. На этом шаге мы получим:
y = (x - b/a)
Шаг 4. В конце заменяем y
на f^(-1)(x)
. В итоге получаем такой результат:
f^(-1)(x) = (x - b)/a
Самостоятельная работа
Вопрос №1
Что такое обратная функция?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Обратная функция — это функция, которая возвращает исходное значение, для которого функция дала выход. Если функция `f(x)` дает на выходе `y`, то обратная функция `y`, то есть `f-1(y)` вернет значение `x`.Вопрос №2
Как найти обратную функцию?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Предположим, `f(x) = 2x + 3` — функция Пусть `f(x) = 2x+3 = y` `y = 2x+3` `x = (y-3)/2 = f-1(y)` Это обратная функция `f(x)`Вопрос №3
Являются ли обратная функция и взаимно обратная функция одним и тем же?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Не следует путать обратную функцию и взаимно обратную функцию. Обратная функция возвращает исходное значение, которое было использовано для получения результата, и обозначается `f-1(x)`. В свою очередь обратная функция обозначается `1/f(x)` или `f(x)-1`.Вопрос №4
Что является обратной величиной для 1/x
?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Пусть `f(x) = 1/x = y` Тогда обратной функцией `f(x)` будет `f-1(y)` `f-1(y) = 1/x`Вопрос №5
Как решить обратную функцию тригонометрии?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Если нам нужно найти обратную тригонометрическую функцию `sin x = 1/2`, то значение `x` равно углу, синус функции которого равен `1/2`. Как известно, `sin 30∘ = 1/2` Следовательно, `sin x = 1/2` `x = sin-1(1/2) = sin-1 (sin 30∘) = 30∘` +
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.