Онто-функции — Функции

• Что такое онто-функция
• Свойства онто-функции
• Как определить количество онто-функций
• Как работать с онто-функциями
  • Определяем онто-функцию
  • Выясняем количество онто-функций
• Выводы

Функция — это то, что связывает элементы или значения одного множества с элементами или значениями другого множества. Так элементы второго множества тождественно определяются элементами первого.

У функции много типов, которые определяют отношения между двумя множествами в различном виде. В этом уроке мы разберем один из типов — онто-функцию, которую также называют сюръективной. Также узнаем о ее определении, способе выяснения количества онто-функций и о том, как доказать, является ли функция сюръективной.

Что такое онто-функция

Онто-функция или сюръективная функция определяется с помощью двух множеств: A и B. Они состоят из элементов. Если для каждого элемента B существует хотя бы один или более одного элемента, который совпадает с A, то функция является онто-функцией:

На первом рисунке видно, что для каждого элемента множества B существует пред-образ или совпадающий элемент в множестве A. Поэтому это онто-функция.

На втором рисунке один элемент множества B не сопоставлен ни с одним элементом множества A, поэтому это не онто-функция:

(1^m)(m-1)^n+(2^m)(m-2)^n-(3^m)(m-3)^n+...-((m-1)^m *1^n

Свойства онто-функции

Онто-функция обладает несколькими важными свойствами:

• Мы можем определить онто-функцию как функцию, которая выражает сюръекцию, если ограничивать ее кодомен своим диапазоном
• Область — это то, что может входить в функцию, кодомен — возможные исходы, а диапазон — фактический вход функции

Как определить количество онто-функций

Представим, что нам нужно найти число онто-функций от множества A с n количеством элементов. При этом функция относится к множеству B с m количеством элементов. В таком случае общее количество функций из A в B будет равно m^n. Вычисляется это так:

Общее количество онто-функций = Общее количество функций — Количество функций, которые не являются онто

Формула для нахождения общего числа функций, которые не являются онто, выглядит так:

m^n-(1^m)(m-1)^n+(2^m)(m-2)^n-(3^m)(m-3)^n+...-((m-1)^m *1^n)

В этой формуле:

• При n > m число онто-функций = 0
• При n = m число онто-функций = m!

Как работать с онто-функциями

Рассмотрим примеры онто-функции, чтобы лучше понять концепцию.

Определяем онто-функцию

Возьмем такое условие:

• A = {1, 5, 8, 9}
• B = {2, 4}
• f = {(1, 2), (5, 4), (8, 2), (9, 4)}

Докажем, что f — онто-функция.

Посмотрим на условие еще раз и заметим, что все элементы на B имеют доменные элементы на A. Другими словами, у элементов 1, 8, 5 и 9 одинаковый диапазон — 2 и 4 соответственно.

Следовательно, f: A → B — это онто-функция.

Выясняем количество онто-функций

Возьмем другое условие:

• Множество X = {1, 2, 3, 4}
• Множество Y = {a, b, c}
• n=4 и m=3

Найдем количество онто-функций из множества X = {1, 2, 3, 4} в множество y= {a, b, c}.

Вспомним формулу, которую рассматривали выше:

m^n-(1^m)(m-1)^n+(2^m)(m-2)^n-(3^m)(m-3)^n+...-((m-1)^m *1^n)

Подставим значения m и n в формулу и получим:

= 34 - ^(3)C_(1)(2)^4 + ^(3)C_(2)(1)^4 = 81 - 3(16) + 3(1) = 81 - 48 + 3 = 36

Таким образом, количество онто-функций из множества X в множество Y равно 36.

Выводы

В этом уроке мы узнали, что такое онто-функция. Так называют функцию, в которой есть два множества A и B в том случае, если для каждого элемента B существует хотя бы один или несколько элементов, совпадающих с множеством A. Любая функция называется онто-функцией, если в ней каждый элемент кодомена имеет один или несколько родственных элементов в домене. Онто-функция также известна как сюръективная функция.

Самостоятельная работа

Вопрос №1

Что подразумевается под функцией онто?

Вопрос №2

Как по-другому называется функция онто?

Вопрос №3

Как определить, является ли график онто?

Вопрос №4

Как определить, является ли функция инъективной и сюръективной?

Вопрос №5

Укажите два свойства сюръективной функции.