- Что такое онто-функция
- Свойства онто-функции
- Как определить количество онто-функций
- Как работать с онто-функциями
- Выводы
Функция — это то, что связывает элементы или значения одного множества с элементами или значениями другого множества. Так элементы второго множества тождественно определяются элементами первого.
У функции много типов, которые определяют отношения между двумя множествами в различном виде. В этом уроке мы разберем один из типов — онто-функцию, которую также называют сюръективной. Также узнаем о ее определении, способе выяснения количества онто-функций и о том, как доказать, является ли функция сюръективной.
Что такое онто-функция
Онто-функция или сюръективная функция определяется с помощью двух множеств: и . Они состоят из элементов. Если для каждого элемента существует хотя бы один или более одного элемента, который совпадает с , то функция является онто-функцией:
На первом рисунке видно, что для каждого элемента множества существует пред-образ или совпадающий элемент в множестве . Поэтому это онто-функция.
На втором рисунке один элемент множества не сопоставлен ни с одним элементом множества , поэтому это не онто-функция:
Свойства онто-функции
Онто-функция обладает несколькими важными свойствами:
-
Мы можем определить онто-функцию как функцию, которая выражает сюръекцию, если ограничивать ее кодомен своим диапазоном
-
Область — это то, что может входить в функцию, кодомен — возможные исходы, а диапазон — фактический вход функции
Как определить количество онто-функций
Представим, что нам нужно найти число онто-функций от множества с количеством элементов. При этом функция относится к множеству с количеством элементов. В таком случае общее количество функций из в будет равно . Вычисляется это так:
Общее количество онто-функций = Общее количество функций — Количество функций, которые не являются онто
Формула для нахождения общего числа функций, которые не являются онто, выглядит так:
В этой формуле:
-
При число онто-функций
-
При число онто-функций
Как работать с онто-функциями
Рассмотрим примеры онто-функции, чтобы лучше понять концепцию.
Определяем онто-функцию
Возьмем такое условие:
Докажем, что — онто-функция.
Посмотрим на условие еще раз и заметим, что все элементы на имеют доменные элементы на . Другими словами, у элементов , , и одинаковый диапазон — и соответственно.
Следовательно, — это онто-функция.
Выясняем количество онто-функций
Возьмем другое условие:
-
Множество
-
Множество
-
и
Найдем количество онто-функций из множества в множество .
Вспомним формулу, которую рассматривали выше:
Подставим значения и в формулу и получим:
Таким образом, количество онто-функций из множества в множество равно .
Выводы
В этом уроке мы узнали, что такое онто-функция. Так называют функцию, в которой есть два множества и в том случае, если для каждого элемента существует хотя бы один или несколько элементов, совпадающих с множеством . Любая функция называется онто-функцией, если в ней каждый элемент кодомена имеет один или несколько родственных элементов в домене. Онто-функция также известна как сюръективная функция.
Самостоятельная работа
Вопрос №1
Что подразумевается под функцией онто?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Если и — два множества, они могут быть онто-функцией при условии, что для каждого элемента существует хотя бы один элемент, совпадающий с множеством .
Вопрос №2
Как по-другому называется функция онто?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Функция онто также называется сюръективной функцией.
Вопрос №3
Как определить, является ли график онто?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Функция является онто-функцией тогда и только тогда, когда ее график пересекает горизонтальную линию хотя бы один раз.
Вопрос №4
Как определить, является ли функция инъективной и сюръективной?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Если функция одновременно инъективна и сюръективна, то она называется биективной, что также называется соответствием один-к-одному.
Вопрос №5
Укажите два свойства сюръективной функции.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
-
Каждая онто-функция имеет правую обратную
-
В онто-функции область действия функции равна кодомену
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
