Зарегистрируйтесь для доступа к 15+ бесплатным курсам по программированию с тренажером

Онто-функции Функции

Функция — это то, что связывает элементы или значения одного множества с элементами или значениями другого множества. Так элементы второго множества тождественно определяются элементами первого.

У функции много типов, которые определяют отношения между двумя множествами в различном виде. В этом уроке мы разберем один из типов — онто-функцию, которую также называют сюръективной. Также узнаем о ее определении, способе выяснения количества онто-функций и о том, как доказать, является ли функция сюръективной.

Что такое онто-функция

Онто-функция или сюръективная функция определяется с помощью двух множеств: и . Они состоят из элементов. Если для каждого элемента существует хотя бы один или более одного элемента, который совпадает с , то функция является онто-функцией:

eyJpZCI6IjIxNDIzOGY1OGQwNDg5MjFiMjE4NTYyM2JkMDNhNjUxLnBuZyIsInN0b3JhZ2UiOiJjYWNoZSJ9?signature=f731c865140281336f66ed7d376828c324670bf2a9cbf2b59e25538bfebf388d

На первом рисунке видно, что для каждого элемента множества существует пред-образ или совпадающий элемент в множестве . Поэтому это онто-функция.

На втором рисунке один элемент множества не сопоставлен ни с одним элементом множества , поэтому это не онто-функция:

Свойства онто-функции

Онто-функция обладает несколькими важными свойствами:

  • Мы можем определить онто-функцию как функцию, которая выражает сюръекцию, если ограничивать ее кодомен своим диапазоном

  • Область — это то, что может входить в функцию, кодомен — возможные исходы, а диапазон — фактический вход функции

Как определить количество онто-функций

Представим, что нам нужно найти число онто-функций от множества с количеством элементов. При этом функция относится к множеству с количеством элементов. В таком случае общее количество функций из в будет равно . Вычисляется это так:

Общее количество онто-функций = Общее количество функций — Количество функций, которые не являются онто

Формула для нахождения общего числа функций, которые не являются онто, выглядит так:

В этой формуле:

  • При число онто-функций

  • При число онто-функций

Как работать с онто-функциями

Рассмотрим примеры онто-функции, чтобы лучше понять концепцию.

Определяем онто-функцию

Возьмем такое условие:

Докажем, что — онто-функция.

Посмотрим на условие еще раз и заметим, что все элементы на имеют доменные элементы на . Другими словами, у элементов , , и одинаковый диапазон — и соответственно.

Следовательно, — это онто-функция.

Выясняем количество онто-функций

Возьмем другое условие:

  • Множество

  • Множество

  • и

Найдем количество онто-функций из множества в множество .

Вспомним формулу, которую рассматривали выше:

Подставим значения и в формулу и получим:

Таким образом, количество онто-функций из множества в множество равно .

Выводы

В этом уроке мы узнали, что такое онто-функция. Так называют функцию, в которой есть два множества и в том случае, если для каждого элемента существует хотя бы один или несколько элементов, совпадающих с множеством . Любая функция называется онто-функцией, если в ней каждый элемент кодомена имеет один или несколько родственных элементов в домене. Онто-функция также известна как сюръективная функция.


Самостоятельная работа

Вопрос №1

Что подразумевается под функцией онто?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Если и — два множества, они могут быть онто-функцией при условии, что для каждого элемента существует хотя бы один элемент, совпадающий с множеством .

Вопрос №2

Как по-другому называется функция онто?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Функция онто также называется сюръективной функцией.

Вопрос №3

Как определить, является ли график онто?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Функция является онто-функцией тогда и только тогда, когда ее график пересекает горизонтальную линию хотя бы один раз.

Вопрос №4

Как определить, является ли функция инъективной и сюръективной?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Если функция одновременно инъективна и сюръективна, то она называется биективной, что также называется соответствием один-к-одному.

Вопрос №5

Укажите два свойства сюръективной функции.

Нажмите, чтобы увидеть ответ
  • Каждая онто-функция имеет правую обратную

  • В онто-функции область действия функции равна кодомену


Аватары экспертов Хекслета

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты

Об обучении на Хекслете

Для полного доступа к курсу нужен базовый план

Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.

Получить доступ
1000
упражнений
2000+
часов теории
3200
тестов

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

  • 130 курсов, 2000+ часов теории
  • 1000 практических заданий в браузере
  • 360 000 студентов
Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»

Наши выпускники работают в компаниях:

Логотип компании Альфа Банк
Логотип компании Aviasales
Логотип компании Yandex
Логотип компании Tinkoff

Используйте Хекслет по-максимуму!

  • Задавайте вопросы по уроку
  • Проверяйте знания в квизах
  • Проходите практику прямо в браузере
  • Отслеживайте свой прогресс

Зарегистрируйтесь или войдите в свой аккаунт

Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»
Изображение Тото

Задавайте вопросы, если хотите обсудить теорию или упражнения. Команда поддержки Хекслета и опытные участники сообщества помогут найти ответы и решить задачу