В этом уроке мы разберем, что такое поточная сеть. Вы узнаете, как строятся такие сети и как диграфы помогают в этом.
Как строится поточная сеть
Представим, что у нас есть диграф и две вершины — источник и сток. У каждого ребра есть вес, который называется его пропускной способностью. Нам нужно пропустить как можно больше материала через диграф от источника к стоку. Это называется потоком, а взвешенный диграф — сетью. Таким образом мы строим сетевой поток.
Например, источник — это a
, а сток — h
:
Первое число, выделенное красным на каждом ребре — это значение потока, а второе — пропускная способность. В этом случае поток не оптимальный, так как через сеть можно пропустить больше вещей, чем 6
единиц.
Количество потока на ребре не может превышать его пропускную способность. Еще общее количество потока в вершину должно быть равно общему количеству потока из этой вершины, за исключением источника и стока. В итоге поток проходит через вершины, которые не создают и не потребляют поток.
Общее объем потока, который проходит через сеть, называется величиной потока. Это количество можно найти, если посчитать:
- Общий поток, который выходит из источника
- Общий поток, который входит в сток
Многие реальные проблемы можно смоделировать с помощью сетей потоков. Например, источник — это место, где мы добываем сырье. Его нужно доставить на завод — сток. Края — это различные маршруты, по которым мы можем отправить сырье, а мощность — сколько материала можно доставить по этим маршрутам.
Если предположить, что транспортная сеть — это ограничивающий фактор, то нас интересует, сколько сырья мы можем доставить на фабрику.
Многие несвязанные проблемы теории графов можно преобразовать в проблемы сетевых потоков.
Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе
С потоками тесно связаны разрезы. Разрез — это набор ребер, удаление которых делает невозможным путь от источника к стоку. Нас интересует сумма мощностей ребер в разрезах. Например, ниже показан разрез из ребер be, bc, ac
и d g
. Его общая емкость равна 3 + 2 + 2 + 4 = 11
:
Между потоками и разрезами, а также не пересекающимися путями между вершинами и отсекающими две вершины множествами из теоремы Менгера есть сходства. Разберем взаимосвязь между потоками и разрезами в сети через теорему:
В любой сети ценность каждого потока меньше или равна пропускной способности каждого разреза
Докажем эту теорему. При любом разрезе C
каждый поток должен проходить хотя бы через одно ребро C
. Если бы это было не так, то C
не был бы разрезом, потому что существовал бы способ добраться от источника до стока по этому потоку. Поскольку поток должен проходить хотя бы через некоторые ребра C
, его величина не может превышать суммарную мощность этих ребер.
Если мы можем найти поток и разрез одинакового размера, то мы знаем, что наш поток — максимальный, а разрез минимальный.
И у нас есть сетевой аналог теоремы Кенига-Эгервари — теорема Max-flow min-cut:
В любой сети максимальное значение потока равно минимальному значению разреза
Например, на схеме ниже изображен максимальный поток:
Всего по сети движется восемь единиц потока. Это видно, если сложить поток из источника и поток в сток. Минимальный разрез в этой сети состоит из ребер a → b, a → c
и a → d
. Их общая пропускная способность равна 3 + 2 + 3 = 8
. Поскольку у нас есть поток и разрез одинакового размера, наш поток максимален, а разрез минимален.
Итоги курса
На этом курсе вы познакомились с большинством важных тем из теории графов. Чтобы действительно усвоить материал, не забывайте выполнять все задания и постоянно практиковаться.
В этом курсе все важные темы мы изучили на вводном уровне. Этого уже хватит, чтобы вы смогли применять теорию графов к реальным проблемам. Но если вы хотите погрузиться в теорию графов подробнее, вы можете изучить дополнительную литературу:
- Graph Theory: A Problem Oriented Approach by Daniel A. Marcus, Mathematical Association of America, 2008
- Introduction to Graph Theory, 2nd ed. by Douglas B. West, Prentice Hall, 2001
- Introduction to Graph Theory by Gary Chartrand and Ping Zhang, Dover Publications, 2012
- Graph Theory and Its Applications, 2nd ed. by Jonathan Gross and Jay Yellen, Chapman and Hall/CRC 2005

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.