Что такое логика — Введение в математическую логику

С точки зрения ученых, логика — это систематическое мышление, которое позволяет разбирать смысл высказываний и выводить новую информацию из уже известной. Логика считается одной из основополагающих наук, потому что она стирает границы между математикой и философией.

Чтобы узнать, как логика работает в математике, возьмем для примера два факта:

Можно сложить эти утверждения и сделать вывод, что площадь круга равна . В этом и заключается основная цель математики — выводить новую информацию. Поэтому логика играет в ней важную роль: помогает объединять известные факты и получать на их основе новые данные.

Рассмотрим еще раз знакомый пример с кругом:

А теперь представим, что мы получили неверную информацию. На самом деле, радиус равен 10:

Первый факт не соответствует действительности, поэтому мы пришли к неверному выводу. Мы верно объединили факты — логика в наших действиях правильная. Но мы обладали неверной информацией, и поэтому ошиблись в выводе.

На этом примере видно, что логика — это правильный вывод информации, а не вывод правильной информации. Важно различать эти понятия, чтобы глубже понимать математику.

Возьмем еще один пример — доказательство утверждения:

Здесь мы применяем логику к аксиоме, то есть очевидной истине. Если мы возьмем это утверждение и применим к нему правильную логику, то все наши выводы будут точно истинными.

Логика — это основа для всех математических рассуждений. Именно правила логики придают математическим утверждениям точный смысл и помогают отличать достоверные аргументы от недостоверных.

Кроме того, правила логики определяют смысл математических утверждений. Например, утверждение «Существует целое число, которое не является суммой двух квадратов» можно передать языком математики в таком виде:

Рассмотрим пошагово запись выше.

Шаг 1. Сначала вводим значения и обозначаем, что эти значения существуют:

Шаг 2. Затем уточняем, какие значения мы вводим. В нашем примере нужны значения из множества целых чисел:

Шаг 3. На последнем шаге ставим двоеточие и записываем, что число не является суммой квадратов и :

Правила логики не только применяются в математике, но и помогают решать практические задачи из компьютерных наук: проектировать цифровые схемы, конструировать программы и проверять правильность кода.

Потому этот курс будет полезен программистам, ведь они работают с автоматизированными рассуждениями. Здесь мы научимся применять логику для решения прикладных математических задач и познакомимся с основой анализа данных — теорией множеств.