У современной математики есть собственный формальный язык. С его помощью мы сводим сложные высказывания к формальностям — то есть переводим рассуждения и мысли в плоскость математики. Так мы лучше понимаем мысли других людей, точнее высказываем свои рассуждения и учимся рассуждать логически.
В этом уроке мы продолжим изучать формальный язык логики высказываний. Мы разберем отношения эквивалентности и научимся определять высказывания, которые равнозначны по смыслу. Так мы сможем экономить время и заранее понимать, какие высказывания можно посчитать истинными или ложными без дополнительных рассуждений.
Логическая эквивалентность
Возьмем для примера такое предложение:
Если Вася получит прибавку к зарплате, то он пойдет в театр
С точки зрения логики в этом высказывании есть и такой смысл:
Если Вася не пошел в театр, значит он не получил прибавку к зарплате
Эти высказывания логически эквивалентны — одно можно заменить на другое без потери смысла. В этом и заключается логическая эквивалентность — два выражения считаются эквивалентными, если они имеют одинаковое истинностное значение во всех случаях.
Как эквивалентность помогает доказывать
Основная польза эквивалентности в том, что она помогает доказывать математические результаты. Допустим, мы знаем, что . Попробуем это доказать.
Можно заменить выражение на другое эквивалентное выражение , которое также будет равно .
Как видите, значение составной пропозиции не изменилось. Значит, эквивалентность помогла нам доказать первоначальное высказывание — .
Как эквивалентность помогает рассуждать
Кроме доказательств, эквивалентность используется и в рассуждениях. Она помогает осмыслить предложение и отнести его к одной из трех категорий в таблице истинности.
Таблица истинности — это разбиение логической функции путем перечисления всех возможных значений, которые может принимать функция. Такая таблица обычно содержит несколько строк и столбцов. В верхней строке представлены логические переменные и комбинации, которые по возрастанию сложности приводят к конечной функции.
В логической функции есть три основные операции:
-
НЕ (Инверсия или отрицание, обозначается как ¬)
-
ИЛИ (Дизъюнкция или сложение, обозначается как )
-
И (Конъюнкция или умножение, обозначается как )
Значениям функций обычно присваивается логический ноль (ложь) или логическая единица (истина).
Таблица истинности выглядит так:
¬ |
¬ |
|
¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Тавтология |
Противоречие |
Случайность |
Случайность |
Рассмотрим ее подробнее:
-
Тавтология ( ) — высказывание, которое всегда истинно независимо от того, истинны ли значения переменных внутри него. По таблице вся колонка истинна
-
Противоречие или абсурд ( ) — высказывание, которое всегда ложно
-
Случайность — составное предложение, которое не является ни тавтологией, ни противоречием.
Тавтологии и противоречия помогают доказывать и проверять математические аргументы, а также объяснить пропозициональные эквивалентности — утверждения, которые равны в логическом аргументе. В этом случае самый простой способ — создать таблицу истинности и посмотреть, идентичны ли столбцы.
По такой таблице мы можем проверить, эквивалентны ли высказывания a и b.
Иногда в математике полезно заменить одно утверждение другим, но эквивалентным. Возьмем такой пример:
Если четное, то — это целое число
Эквивалентное утверждение звучит так:
Если не целое число, то — это нечетное число
Первое высказывание имело вид «Если , то », а второе — «Если не , то не ». Это эквивалентные высказывания, о которых мы подробнее поговорим ниже.
Законы логической эквивалентности (Законы Моргана)
Ниже приведен список важных законов эквивалентности — также их называют законами алгебры высказываний. На протяжение всего курса мы будем использовать такие законы:
Эквивалентность |
Закон |
То же, что равенство в булевой алгебре |
|
Законы тождества |
Высказывание с определенным значением (истина или ложь) сохраняет свою первоначальную форму |
|
Законы доминирования |
: Если в выражении первое И ложно, то все выражение И будет ложным |
|
Законы тавтологии |
Высказывание принимает только истинные значения в любом случае |
¬ ¬ |
Закон двойного отрицания |
Два отрицания эквивалентны отсутствию отрицания |
|
Законы коммутативности |
Результат операции над двумя высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания |
Применим некоторые из этих законов на практике.
Возьмем для примера составное предложение:
Я обедаю в ресторане и иду на танцы
Используем законы де Моргана — они связывают с помощью отрицания конъюнкцию и дизъюнкцию. Можно выразить отрицание так:
Я не буду есть в ресторане или не пойду танцевать
Обратите внимание, что мы отрицаем оба простых предложения и заменили «и» на «или».
В качестве еще одного примера рассмотрим следующее утверждение:
Неверно, что Глеб — доктор, а Вася — инженер
Это переводится на математический язык как:
¬ доктор инженер
Эквивалентное утверждение будет иметь вид:
¬ доктор инженер ¬доктор ¬инженер
Следовательно, мы можем сказать, что Глеб не доктор или Вася не инженер.
Приведенные выше примеры можно легко решить с помощью таблицы истинности. Но это можно сделать только для предложения с небольшим числом переменных — здесь их всего две.
Чем больше переменных, тем менее практично использовать метод таблицы истинности. Для пропозиции с 20 переменными необходимо оценить строк в таблице истинности. Человеку будет сложно справиться с такой задачей, но можно упростить процесс и воспользоваться компьютером.
Но если переменных будет больше 1000, вычисление на компьютере будет очень долгим.
А еще бывают случаи, когда можно не строить таблицу истинности — вместо этого можно указать причину, по которой два высказывания логически эквивалентны. При этом мы преобразуем левую часть высказывания, чтобы она соответствовала правой части, и приводим причины каждого преобразования. Как в примере выше:
-
Высказывание: Если четное, то — целое число
-
И его эквивалент: Если не целое число, то не четное
-
При этом преобразование справедливо для любого
Эти логические доказательства могут показаться сложными на первых порах. Эта тема станет понятнее, когда мы обсудим ее подробнее в следующих уроках.
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
