Как в любом другом языке, в математике есть свои правила, союзы и слова-связки. В алгебре логики они называются нотациями — то есть операциями над высказываниями и выражениями.
В этом уроке мы начнем изучать нотации, рассмотрим основные логические символы и разберемся, как их использовать.
Пропозиции
Пропозиция — это утверждение, которое можно четко определить как истинное или ложное.
Если пропозиция истинна, то ее значение равно . Например:
-
Если сложить 1 и 2, то получится 3
-
10 больше, чем 9
-
Если число положительное, то его квадрат тоже будет положительным
Если пропозиция ложна, то ее значение равно . Например:
-
11 больше, чем 12
-
Любое число является простым числом
-
Радиус Земли равен радиусу футбольного мяча
Операторы
В естественном языке мы умеем объединять несколько предложений в одно. Возьмем такой пример:
-
Высказывание 1: У Ромы есть зеленая рубашка
-
Высказывание 2: У Васи есть зелёная рубашка
Объединим высказывания через союз «И»:
У Ромы есть зеленая рубашка и у Васи есть зеленая рубашка
А теперь попробуем объединить через союз «ИЛИ»:
У Ромы зелёная рубашка или у Васи есть зелёная рубашка
Для объединения мы используем логические связки — операторы. Всего их четыре:
-
Конъюнкция
-
Дизъюнкция
-
Отрицание
-
Импликация
Далее поговорим о них подробнее.
Конъюнкция
Конъюнкция — это оператор, который работает как союз «и» и обозначается через . Вся конъюнкция истинна, только если оба высказывания истинны:
: Apple продает смартфоны —
: Apple продает ноутбуки —
: Apple продает смартфоны и ноутбуки —
Бывают случаи, когда одно из высказываний ложное. Тогда вся конъюнкция становится ложной:
: Apple продает смартфоны —
: Apple продает яблоки —
: Apple продает смартфоны и яблоки —
Дизъюнкция
Дизъюнкция — это оператор, который работает как союз «или» и обозначается через . Вся дизъюнкция истинна, если истинно одно из высказываний или оба:
: Apple продает смартфоны —
: Apple продает яблоки —
: Apple продает смартфоны или яблоки —
Компания Apple действительно продает смартфоны, то есть высказывание верное. Если в дизъюнкции есть хотя бы одно верное высказывание — вся остальная дизъюнкция тоже верна.
Рассмотрим еще один пример. Здесь вся дизъюнкция ложная, потому что оба высказывания ложные:
: Apple продает груши —
: Apple продает яблоки —
: Apple продает груши или яблоки —
Отрицание
Отрицание — это оператор, который работает как частица «не» и обозначается через ¬. Например:
: У квадрата четыре стороны —
: У квадрата НЕ четыре стороны —
Бывают случаи, когда нужно добавить отрицание к отрицанию:
: У квадрата НЕ четыре стороны —
: У квадрата НЕ НЕ четыре стороны —
(То же самое, что «у квадрата четыре стороны»)
Импликация
Импликация — это оператор, который обозначает условное высказывание. Она работает как конструкция «если…, то…» и обозначается через .
Вот несколько примеров условных высказываний:
-
Если пойдет дождь, я останусь дома
-
Если ты получишь диплом, то сможешь найти работу
-
Если машина уехала, значит, Вася уехал
Может возникнуть путаница: когда импликацию следует считать истинной, а когда — ложной?
Чтобы решить этот вопрос, рассмотрим пример. Предположим, что Вася будет играть в теннис с Ромой. Рома делает заявление:
Если ты выиграешь, я куплю тебе мороженое
Если Вася выиграет, то он получит мороженое. Но если Вася проиграет, Рома ничего не должен — обещаний на этот случай он не давал.
В конце матча возможны четыре варианта развития событий:
-
Вася побеждает — получает мороженое
-
Вася побеждает — не получает мороженое
-
Вася проигрывает — получает мороженое
-
Вася проигрывает — не получает мороженое
Заявление Ромы прямо исключает вариант . Еще Рома не упомянул или — если Вася проиграет, Рома может поступить как угодно.
По сути, Рома сказал, что события , и могут произойти, а не произойдет. Рома будет пойман на лжи, только если произойдет исход . В остальных трех случаях он скажет правду.
Чтобы записать высказывание Ромы символически, определим более простые высказывания:
-
: ты выиграл
-
: я куплю тебе мороженое
Используем логический символ импликации . Направим его от к , чтобы сформировать составное высказывание:
: Если ты выиграешь, то я куплю тебе мороженое
Эта импликация ложна только в одном случае:
-
Когда истинно, а ложно — то есть Вася выиграл, но не получил мороженое
При всех других исходах утверждение истинно.
Обозначим эту ситуацию через логические уравнения для импликации:
-
Вася побеждает и получает мороженое —
-
Вася побеждает и не получает мороженое —
-
Вася проигрывает и получает мороженое —
-
Вася проигрывает и не получает мороженое —
Комбинации
Допустим, у нас есть два высказывания, оба могут быть истинными или ложными:
-
Если оба высказывания истинны, то мы получим комбинацию : верно и первое, и второе. Будем обозначать такие случаи
-
Если верно только первое высказывание, то получаем комбинацию : первое верно, второе неверно. Обозначаем как
Таким образом, в этом примере возможны четыре комбинации, каждая представлена одним из логических операторов:
-
— Конъюнкция
-
— Дизъюнкция
-
— Отрицание
-
— Импликация
Объединим эти высказывания и составим новую пропозицию. Она тоже может быть истинной или ложной, поэтому мы получим возможных комбинаций из и .
На схеме ниже видно, как новая пропозиция составляется из двух высказываний:
Предикаты
Выше мы рассматривали только пропозиции — утверждения, которые могут быть либо истинными, либо ложными. Теперь попробуем расширить простую пропозициональную логику и введем новое понятие.
Предикат — это логическое утверждение, в котором содержатся переменные. Предикаты обозначаются заглавной буквой, а переменные перечисляются как аргументы. Например, предикат с переменной обозначается так: .
Как определить, предикат истинный или ложный? Это зависит от значения его переменных. Рассмотрим на примерах:
Задаем предикат:
— это дерево
Определяем значение переменной:
береза
Получаем истинное высказывание:
(береза): береза — это дерево
Определяем еще одно значение переменной:
ромашка
Получаем ложное высказывание:
(ромашка): ромашка — это дерево
И еще один пример:
Задаем предикат:
— это дерево или цветок
Определяем значение переменной:
береза
Получаем истинное высказывание:
(береза): береза — дерево или цветок
Определяем еще одно значение переменной:
ромашка
Получаем истинное высказывание:
(ромашка): ромашка — это дерево или цветок
Определяем еще одно значение переменной:
смартфон
Получаем ложное высказывание:
(смартфон): смартфон — это дерево или цветок
Предикаты принимают два значения — истина или ложь. Поэтому к ним применимы все операторы алгебры логики, которые мы рассмотрели выше. Используя операторы, можно формировать более сложные предикаты.
Квантификаторы
Существует еще одна операция с предикатами — квантификация. Квантификация помогает определить степень достоверности предиката — то есть диапазон значений переменных, для которых предикат должен выполняться. В логике предикатов есть два типа квантификаторов.
Универсальный квантификатор похож на слово «каждый» и передает такое значение:
«Предикат истинен для каждого значения переменной определенной области»
Экзистенциальный квантификатор похож на слово «существует» и передает такое значение:
«Существует такое значение переменной, при котором истинно»
Предикаты, логические операторы и квантификаторы — это мощные инструменты, которые помогают описывать математические объекты и моделировать реальный мир. В этом уроке мы раскрыли не всю полноту использования операторов. Более подробно рассмотрим их далее в курсе.
Операторы и связки еще будут встречаться в курсе. Чтобы их не забыть, обращайтесь к таблице:
|
Множество, которое содержит и |
|
принадлежит к |
|
не принадлежит к |
|
является подмножеством |
|
равно . То же самое, что |
|
является строгим подмножеством . То же самое, что |
|
Пустое множество |
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
