Прежде чем мы определим, что такое дополнение множества, вспомним определения универсального множества и подмножества — эти термины будут часто использоваться в этом уроке. Универсальное множество — это множество всех элементов, которые рассматриваются в конкретной задаче или ситуации.
Допустим, нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству -3 < x < 2. Нам дано универсальное множество целых чисел:
{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Целые числа, которые удовлетворяют неравенству:
{-2, -1, 0, 1} — это подмножество универсального множества
Допустим, у нас есть множество A — подмножество некоторого универсального множества U. Дополнение A — это все остальные элементы из U, которые не вошли в A.
В нашем примере выше, дополнение для {-2, -1, 0, 1} — это множество, содержащее все целые числа, которые не удовлетворяют неравенству: {..., -3, 2, 3, ...}.
Мы можем проиллюстрировать это определение на другом примере. Если нашим универсальным множеством являются города России, то возможным подмножеством является множество городов миллионников: A={Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Екатеринбург, Казань, Нижний Новгород, Челябинск, Самара, Уфа, Ростов-на-Дону, Омск, Волгоград, Воронеж, Краснодар, Красноярск, Пермь}.
Тогда дополнением A будет множество, содержащее все остальные города, которые не являются миллионниками.
Существуют различные способы обозначения дополнения множества с помощью нотации. Например, можно использовать знак простого числа. Иногда используется надстрочная строчная буква c. Над именем исходного множества может стоять черточка или символ подчеркивания. Мы будем использовать '.
В этом уроке мы подробно рассмотрим дополнение множества, его определение и свойства.
Что такое дополнение множества?
Простыми словами, дополнение множества A — это разность между универсальным множеством и множеством A.
Это тождество можно записать так:
A' = {x ∈ U : x ∉ A}
В дополнение входят те элементы x из множества U, которые не входят в A.
Условные обозначения
Дополнение любого множества представляется как A', B', C' и т.д. Другими словами, если задано универсальное множество (U) и подмножество универсального множества (A), то разность универсального множества (U) и подмножества универсального множества (A) является дополнением подмножества, то есть A' = U - A.
Рассмотрим на таком примере:
- Дано U, в которое входят все простые числа до 25
- Множество A = {2, 3, 5}
Найдем дополнение:
- Шаг 1: Проверка универсального множества и множества, для которого нужно найти дополнение: U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, A = {2, 3, 5}
- Шаг 2: Вычитание: (U - A)
- Шаг 3: Здесь U - A = A'
- = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} - {2, 3, 5}
- = {7, 11, 13, 17, 19, 23}
Диаграмма
Для лучшего понимания посмотрите на приведенную ниже диаграмму Венна, которая ясно показывает дополнение множества A, то есть A':
Здесь A' не является частью множества A, и множество A также не является частью A'. A и A' являются подмножествами U.
Свойства дополнения множества
Ниже перечислены свойства дополнения множества, которые включают в себя:
- Законы дополнения
- Закон двойного дополнения
- Закон пустого множества
- Закон универсального множества
Законы дополнения
- Если A является подмножеством универсального множества, то A' также является подмножеством универсального множества. Поэтому объединение A и A' является универсальным множеством, представленным как A ∪ A' = U
- Пересечение множеств A и A' дает пустое множество "∅", представленное как A ∩ A' = ∅
Рассмотрим на таком примере:
- Если U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } и A = {4 , 5} и B = {1, 2}
- A' = {1 , 2 , 3 } и B' = {3, 4, 5}
- A ∪ A' = U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5}
- Кроме того, A ∩ A' = ∅
Закон двойного дополнения
- Дополнением дополненного множества является исходное множество (A')' = A
- Дополнение множества A', где само A' является дополнением A, двойное дополнение A, таким образом, является самим A
В предыдущем примере U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} и A = {4 , 5}, тогда A' = {1 , 2 , 3 }. Дополнение A' = (A')' = {4, 5}, что равно множеству A.
Закон для пустого множества и универсального множества
- Дополнением универсального множества является пустое множество или нулевое множество (∅), а дополнением пустого множества — универсальное множество
- Поскольку универсальное множество содержит все элементы, а пустое множество не содержит никаких элементов, следовательно, их дополнения прямо противоположны друг другу, что представляется как ∅' = U И U' = ∅
В примере выше, множество U = {1, 2, 3, 4, 5} содержит все элементы множества A, а множество B как универсальное множество содержит все элементы, поэтому U' = ∅ (пустое множество) и ∅' = {1, 2, 3, 4, 5}.
Выводы
- Дополнением универсального множества является пустое множество или нулевое множество
- Множество пересечения содержит элементы, которые являются общими для обоих множеств
- Объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы, которые находятся в A или B или в обоих
Самостоятельная работа
Задача №1
По условию задачи:
- B = { p | p кратно 3, p ∈ N }
- p ∈ N означает, что N — универсальное множество натуральных чисел
Найдите B'.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
По условию задачи: * N = U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, ...}. * B = { p | p кратно 3, p ∈ N } rightarrow B = { 3, 6, 9, 12, 15, ... } Следовательно, дополнением множества B является: * B' = U - B = { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11, ...} **Ответ:** { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11, ... }Задача №2
Если U — универсальное множество, содержащее 50 учеников класса X школы совместного обучения, а A — множество всех девочек и оно содержит 25 девочек. Найдите количество элементов дополнения множества девочек?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Если множество A содержит всех девочек, то дополнением множества A является множество всех мальчиков. Разность между универсальным множеством и множеством всех девочек является дополнением множества девочек. Таким образом, n(A') = 50 - 25 = 25. Следовательно, дополнение множества содержит 25 мальчиков. Ответ: 25Задача №3
Найдите дополнение множества A и множества B.
Покажите, что (A U B)' = A' ∩ B', где U = {11, 12, 13, 14, 15, 16}, A = {12, 13} и B = {13, 14, 15}?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Дополнение множества A или A' содержит элементы, отличные от элементов множества A. Следовательно, A' = {11, 14, 15, 16}. Аналогично, B' = {11, 12, 16}. Найдем A' ∩ B'. Так содержатся элементы, включенные как в A', так и в B'. Значит, A' ∩ B' = {11, 16}. ... (1). Таким образом, A U B = {12, 13, 14, 15}. Значит, дополнение A U B или (A U B)' = {11, 16}. Следовательно, (A U B)' = A' ∩ B' = {11, 16} ... (2). Из (1) и (2) следует, что (A U B)' = A' ∩ B'.
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.