Зарегистрируйтесь, чтобы продолжить обучение

Дополнение Теория множеств

set-theory-complement-1

Прежде чем мы определим, что такое дополнение множества, вспомним определения универсального множества и подмножества — эти термины будут часто использоваться в этом уроке. Универсальное множество — это множество всех элементов, которые рассматриваются в конкретной задаче или ситуации.

Допустим, нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству -3 < x < 2. Нам дано универсальное множество целых чисел:

{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Целые числа, которые удовлетворяют неравенству:

{-2, -1, 0, 1} — это подмножество универсального множества

Допустим, у нас есть множество A — подмножество некоторого универсального множества U. Дополнение A — это все остальные элементы из U, которые не вошли в A.

В нашем примере выше, дополнение для {-2, -1, 0, 1} — это множество, содержащее все целые числа, которые не удовлетворяют неравенству: {..., -3, 2, 3, ...}.

Мы можем проиллюстрировать это определение на другом примере. Если нашим универсальным множеством являются города России, то возможным подмножеством является множество городов миллионников: A={Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Екатеринбург, Казань, Нижний Новгород, Челябинск, Самара, Уфа, Ростов-на-Дону, Омск, Волгоград, Воронеж, Краснодар, Красноярск, Пермь}.

Тогда дополнением A будет множество, содержащее все остальные города, которые не являются миллионниками.

Существуют различные способы обозначения дополнения множества с помощью нотации. Например, можно использовать знак простого числа. Иногда используется надстрочная строчная буква c. Над именем исходного множества может стоять черточка или символ подчеркивания. Мы будем использовать '.

В этом уроке мы подробно рассмотрим дополнение множества, его определение и свойства.

Что такое дополнение множества?

Простыми словами, дополнение множества A — это разность между универсальным множеством и множеством A.

Это тождество можно записать так:

A' = {x  ∈  U : x  ∉  A}

В дополнение входят те элементы x из множества U, которые не входят в A.

Условные обозначения

Дополнение любого множества представляется как A', B', C' и т.д. Другими словами, если задано универсальное множество (U) и подмножество универсального множества (A), то разность универсального множества (U) и подмножества универсального множества (A) является дополнением подмножества, то есть A' = U - A.

Рассмотрим на таком примере:

  • Дано U, в которое входят все простые числа до 25
  • Множество A = {2, 3, 5}

Найдем дополнение:

  • Шаг 1: Проверка универсального множества и множества, для которого нужно найти дополнение: U = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23}, A = {2, 3, 5}
  • Шаг 2: Вычитание: (U - A)
  • Шаг 3: Здесь U - A = A'
    • = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23} - {2, 3, 5}
    • = {7, 11, 13, 17, 19, 23}

Диаграмма

Для лучшего понимания посмотрите на приведенную ниже диаграмму Венна, которая ясно показывает дополнение множества A, то есть A':

set-theory-complement-2

Здесь A' не является частью множества A, и множество A также не является частью A'. A и A' являются подмножествами U.

Свойства дополнения множества

Ниже перечислены свойства дополнения множества, которые включают в себя:

  • Законы дополнения
  • Закон двойного дополнения
  • Закон пустого множества
  • Закон универсального множества

Законы дополнения

  • Если A является подмножеством универсального множества, то A' также является подмножеством универсального множества. Поэтому объединение A и A' является универсальным множеством, представленным как A ∪ A' = U
  • Пересечение множеств A и A' дает пустое множество "∅", представленное как A ∩ A' = ∅

Рассмотрим на таком примере:

  • Если U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } и A = {4 , 5} и B = {1, 2}
  • A' = {1 , 2 , 3 } и B' = {3, 4, 5}
  • A ∪ A' = U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5}
  • Кроме того, A ∩ A' = ∅

Закон двойного дополнения

  • Дополнением дополненного множества является исходное множество (A')' = A
  • Дополнение множества A', где само A' является дополнением A, двойное дополнение A, таким образом, является самим A

В предыдущем примере U = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} и A = {4 , 5}, тогда A' = {1 , 2 , 3 }. Дополнение A' = (A')' = {4, 5}, что равно множеству A.

Закон для пустого множества и универсального множества

  • Дополнением универсального множества является пустое множество или нулевое множество (∅), а дополнением пустого множества — универсальное множество
  • Поскольку универсальное множество содержит все элементы, а пустое множество не содержит никаких элементов, следовательно, их дополнения прямо противоположны друг другу, что представляется как ∅' = U И U' = ∅

В примере выше, множество U = {1, 2, 3, 4, 5} содержит все элементы множества A, а множество B как универсальное множество содержит все элементы, поэтому U' = ∅ (пустое множество) и ∅' = {1, 2, 3, 4, 5}.

Выводы

  • Дополнением универсального множества является пустое множество или нулевое множество
  • Множество пересечения содержит элементы, которые являются общими для обоих множеств
  • Объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы, которые находятся в A или B или в обоих

Самостоятельная работа

Задача №1

По условию задачи:

  • B = { p | p кратно 3, p ∈ N }
  • p ∈ N означает, что N — универсальное множество натуральных чисел

Найдите B'.

Нажмите, чтобы увидеть ответ По условию задачи: * N = U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, ...}. * B = { p | p кратно 3, p ∈ N } rightarrow B = { 3, 6, 9, 12, 15, ... } Следовательно, дополнением множества B является: * B' = U - B = { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11, ...} **Ответ:** { 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10,11, ... }

Задача №2

Если U — универсальное множество, содержащее 50 учеников класса X школы совместного обучения, а A — множество всех девочек и оно содержит 25 девочек. Найдите количество элементов дополнения множества девочек?

Нажмите, чтобы увидеть ответ Если множество A содержит всех девочек, то дополнением множества A является множество всех мальчиков. Разность между универсальным множеством и множеством всех девочек является дополнением множества девочек. Таким образом, n(A') = 50 - 25 = 25. Следовательно, дополнение множества содержит 25 мальчиков. Ответ: 25

Задача №3

Найдите дополнение множества A и множества B.

Покажите, что (A U B)' = A' ∩ B', где U = {11, 12, 13, 14, 15, 16}, A = {12, 13} и B = {13, 14, 15}?

Нажмите, чтобы увидеть ответ Дополнение множества A или A' содержит элементы, отличные от элементов множества A. Следовательно, A' = {11, 14, 15, 16}. Аналогично, B' = {11, 12, 16}. Найдем A' ∩ B'. Так содержатся элементы, включенные как в A', так и в B'. Значит, A' ∩ B' = {11, 16}. ... (1). Таким образом, A U B = {12, 13, 14, 15}. Значит, дополнение A U B или (A U B)' = {11, 16}. Следовательно, (A U B)' = A' ∩ B' = {11, 16} ... (2). Из (1) и (2) следует, что (A U B)' = A' ∩ B'.

Аватары экспертов Хекслета

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»

Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты

Для полного доступа к курсу нужен базовый план

Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.

Получить доступ
1000
упражнений
2000+
часов теории
3200
тестов

Открыть доступ

Курсы программирования для новичков и опытных разработчиков. Начните обучение бесплатно

  • 130 курсов, 2000+ часов теории
  • 1000 практических заданий в браузере
  • 360 000 студентов
Отправляя форму, вы принимаете «Соглашение об обработке персональных данных» и условия «Оферты», а также соглашаетесь с «Условиями использования»

Наши выпускники работают в компаниях:

Логотип компании Альфа Банк
Логотип компании Aviasales
Логотип компании Yandex
Логотип компании Tinkoff