Прежде чем мы определим, что такое дополнение множества, вспомним определения универсального множества и подмножества — эти термины будут часто использоваться в этом уроке. Универсальное множество — это множество всех элементов, которые рассматриваются в конкретной задаче или ситуации.
Допустим, нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют неравенству . Нам дано универсальное множество целых чисел:
Целые числа, которые удовлетворяют неравенству:
— это подмножество универсального множества
Допустим, у нас есть множество — подмножество некоторого универсального множества . Дополнение — это все остальные элементы из , которые не вошли в .
В нашем примере выше, дополнение для — это множество, содержащее все целые числа, которые не удовлетворяют неравенству: .
Мы можем проиллюстрировать это определение на другом примере. Если нашим универсальным множеством являются города России, то возможным подмножеством является множество городов миллионников: Москва, Санкт-Петербург, Новосибирск, Екатеринбург, Казань, Нижний Новгород, Челябинск, Самара, Уфа, Ростов-на-Дону, Омск, Волгоград, Воронеж, Краснодар, Красноярск, Пермь .
Тогда дополнением будет множество, содержащее все остальные города, которые не являются миллионниками.
Существуют различные способы обозначения дополнения множества с помощью нотации. Например, можно использовать знак простого числа. Иногда используется надстрочная строчная буква . Над именем исходного множества может стоять черточка или символ подчеркивания. Мы будем использовать .
В этом уроке мы подробно рассмотрим дополнение множества, его определение и свойства.
Что такое дополнение множества?
Простыми словами, дополнение множества — это разность между универсальным множеством и множеством .
Это тождество можно записать так:
В дополнение входят те элементы из множества , которые не входят в .
Условные обозначения
Дополнение любого множества представляется как и т.д. Другими словами, если задано универсальное множество и подмножество универсального множества , то разность универсального множества и подмножества универсального множества является дополнением подмножества, то есть .
Рассмотрим на таком примере:
-
Дано , в которое входят все простые числа до
-
Множество
Найдем дополнение:
-
Шаг 1: Проверка универсального множества и множества, для которого нужно найти дополнение:
-
Шаг 2: Вычитание:
-
Шаг 3: Здесь
Диаграмма
Для лучшего понимания посмотрите на приведенную ниже диаграмму Венна, которая ясно показывает дополнение множества , то есть :
Здесь не является частью множества , и множество также не является частью . и являются подмножествами .
Свойства дополнения множества
Ниже перечислены свойства дополнения множества, которые включают в себя:
-
Законы дополнения
-
Закон двойного дополнения
-
Закон пустого множества
-
Закон универсального множества
Законы дополнения
-
Если является подмножеством универсального множества, то также является подмножеством универсального множества. Поэтому объединение и является универсальным множеством, представленным как
-
Пересечение множеств и дает пустое множество " ", представленное как
Рассмотрим на таком примере:
-
Если и и
-
и
-
-
Кроме того,
Закон двойного дополнения
-
Дополнением дополненного множества является исходное множество
-
Дополнение множества , где само является дополнением , двойное дополнение , таким образом, является самим
В предыдущем примере и , тогда . Дополнение , что равно множеству .
Закон для пустого множества и универсального множества
-
Дополнением универсального множества является пустое множество или нулевое множество ( ), а дополнением пустого множества — универсальное множество
-
Поскольку универсальное множество содержит все элементы, а пустое множество не содержит никаких элементов, следовательно, их дополнения прямо противоположны друг другу, что представляется как И
В примере выше, множество содержит все элементы множества , а множество как универсальное множество содержит все элементы, поэтому (пустое множество) и .
Выводы
-
Дополнением универсального множества является пустое множество или нулевое множество
-
Множество пересечения содержит элементы, которые являются общими для обоих множеств
-
Объединение двух множеств — это множество, содержащее все элементы, которые находятся в A или B или в обоих
Самостоятельная работа
Задача №1:
По условию задачи:
-
кратно
-
означает, что — универсальное множество натуральных чисел
Найдите .
Нажмите, чтобы увидеть ответ
По условию задачи:
-
-
кратно
Следовательно, дополнением множества является:
Ответ:
Задача №2:
Если — универсальное множество, содержащее учеников класса школы совместного обучения, а — множество всех девочек и оно содержит девочек. Найдите количество элементов дополнения множества девочек?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Если множество содержит всех девочек, то дополнением множества является множество всех мальчиков. Разность между универсальным множеством и множеством всех девочек является дополнением множества девочек.
Таким образом, . Следовательно, дополнение множества содержит мальчиков.
Ответ:
Задача №3
Найдите дополнение множества и множества .
Покажите, что , где и ?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Дополнение множества или содержит элементы, отличные от элементов множества A.
Следовательно, .
Аналогично, .
Найдем . Так содержатся элементы, включенные как в , так и в .
Значит, .
Таким образом, .
Значит, дополнение или .
Следовательно, .
Из и следует, что .
Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
