Распределительный закон в множествах — Теория множеств

Распределительный закон — это алгебраическое свойство, которое используется для умножения нескольких значений в скобках на одно общее значение вне скобок. Само название этого закона означает, что операция подразумевает распределение чего-либо.

По этому закону операцию над числами в скобках можно распределить на каждое отдельное число в этих скобках. Другими словами, можно действовать двумя способами:

В виде формулы этот закон выглядит еще нагляднее:

То же самое работает и с вычитанием:

Рассмотрим, как это работает на практике. Возьмем для примера:

Вычислить ответ можно двумя способами:

Также в разных источниках вы можете встретить название «дистрибутивный закон» или «распределительное свойство» — эти термины относятся к этому же понятию.

Распределительный закон работает и с переменными. Рассмотрим такой пример:

Два значения внутри скобок — это число и переменная, умноженная на число. Их нельзя сложить друг с другом, поэтому упростить эти значения дальше невозможно. Но мы можем применить распределительный закон к переменной:

Скобок больше не существует. Каждый член умножается на 6, а потом результаты складываются:

Выше мы рассмотрели примеры, где распределительный закон упрощает умножение. Обратите внимание, что в этих примерах мы сталкивались только с двумя значениями в скобках. На практике те же принципы применимы и с любым количеством значений и не только к умножению, но и к делению.

Мы можем делить большие числа с помощью распределительного закона, разбивая их на меньшие числа.

Для примера разделим . Чтобы упростить эту операцию, можно разбить на более удобные значения:

Теперь распределяем деление на каждое значение в скобках:

Все те же правила работают и в выражениях с множествами. В этом случае распределительный закон выглядит так:

То же самое можно обозначить такой формулой:

Разберем на примере с диаграммами Венна. Представим, что нам даны три множества:

Шаг 1. Сначала найдем общие элементы в и :

Теперь объединим эти элементы с множеством :

Шаг 2. Объединяем множество по отдельности. Начнем с :

А затем объединим с :

Пересечем полученые результаты, то есть найдем совпадающие элементы в них:

Теперь сравним результаты шага 1 и 2:

Значит, . Именно это мы и хотели выяснить.

В этом уроке мы изучили распределительный закон — одно из наиболее часто используемых правил в математике. С его помощью можно превращать запутанные сложные формулы в простые. Мы можем распределять:

Те же правила применимы при нескольких значениях в скобках, а также в операциях с множествами. Эти правила помогут вам упрощать выражения в арифметике, алгебре и теории множеств — вы сможете быстрее вычислять и проще приходить к решению задач.