Теория множеств — это раздел математики, посвященный изучению коллекций объектов, их свойств и отношений между ними. В этой теме не обойтись без общепринятых условных значений. Без этих знаний вы не сможете понимать математические выражения и дальше продвигаться в изучении дискретной математики.
В этом уроке мы рассмотрим наиболее важные символы в теории множеств — также узнаем, что они значат и как их использовать. Для удобства чтения мы сгруппировали эти символы в таблицы по их функциям.
Константы
В теории множеств константы — это односимвольные литералы, используемые для обозначения ключевых математических множеств. В таблице ниже мы приводим наиболее заметные из них, а также их значение и примеры:
| Ø, ∅, {} | Пустое множество | \ |
| ⊆ {N} | Множество натуральных чисел | 1 ∈ {N} |
| ⊆ {Z} | Множество целых чисел | Если m,n ∈ {Z}, тогда m+n, mn ∈ {Z} |
| ⊆ {Q} | Множество рациональных чисел | P ∉ ∈ {Q} |
| ⊆ {I} | Множество иррациональных чисел | Pi ∈ ⊆ {I} |
| ⊆ {R} | Множество действительных чисел | e ∈ {R} |
| ⊆ {C} | Множество комплексных чисел | ⊆ {N} ⊆ {Z} ⊆ {Q} ⊆ {R} ⊆ {C} |
| ⊆ {U} | Универсальное множество | Когда U= ⊆ {R}, ⊆ {I}= ⊆ {R} \ ⊆ {Q} |
На схеме ниже вы видите, как соотносятся константы между собой:
Переменные
Как и в других областях математики, в теории множеств часто используются символы переменных для обозначения различных объектов и величин.
В следующей таблице мы рассмотрим наиболее распространенные константы:
| A, B, C | Множества | A ⊆ B ∪ C |
| a, b, c | Элементы множества | Если a ∈ A и b ∈ B, тогда a , b ∈ A ∪ B |
| α,β,gamma | Порядковые числа | Если P(β) для всех β<α подразумевает, что P(α) для всех α, тогда P выполняется в общем случае |
| λ | Предельные ординалы | λ является предельным ординалом, если он не равен ни 0, ни ординалу преемника |
| κ | Мощность (кардинальные числа) | Для каждого конечного кардинала κ, его преемником является просто κ+1 |
Разделители
В теории множеств разделители — это символы, используемые для разделения между независимыми математическими сущностями, и часто встречаются в контексте определения множеств.
В следующей таблице мы рассмотрим наиболее распространенные разделители:
| {} | Идентификатор для множеств | {37,Pi} |
| () | Идентификатор для кортежей | (3,7) ∈ {N} |
| \∣,: | Маркер «Такой, что» | {x2: ⊆ {Z}} |
Реляционные символы
В теории множеств реляционные символы описывают отношения между множествами или отношения между множеством и его элементом.
В следующей таблице мы рассмотрим наиболее распространенные реляционные символы:
| x∈Ax∈A | Принадлежит к множеству (Элемент xx входит в множество AA) | 2∈N2∈N. |
| x∉Ax∉A | Непринадлежность к множеству (Элемент xx не входит в множество AA) | Π∉QΠ∉Q |
| A=BA=B | Эквивалентность множеств (Множества равны) | ∅={}∅={} |
| A⊆BA⊆B | Отношение подмножества (AA является нестрогим подмножеством BB) Символ ⊆⊆ является аналогом ≤, то есть допускается равенство (A=BA=B) множеств | {1,3}⊆{1,3,7}{1,3}⊆{1,3,7} и {1,3,7}⊆{1,3,7}{1,3,7}⊆{1,3,7} |
| A⊂BA⊂B | Отношение строгого подмножества (AA является строгим подмножеством BB) Символ ⊂⊂ является аналогом < | {1,3}⊂{1,3,7}{1,3}⊂{1,3,7} |
| AA ⊊ BB | Отношение без подмножества (AA не является подмножеством BB) | Если AA⊊BB, тогда существует такое x∈Ax∈A, что x∉Bx∉B |
| A⊇BA⊇B | Надмножество (AA является надмножеством BB) | {1,3,7}⊇{7,3}{1,3,7}⊇{7,3} |
| A⊃BA⊃B | Отношение правильного надмножества (AA является правильным надмножеством BB) | Когда AB⇔A⊂BAB⇔A⊂B |
| AA ⊋ BB | Отношение без надмножества (AA не является надмножеством BB) | Когда NN⊋R |
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
