- Пустое множество
- Синглетон
- Конечное множество
- Бесконечное множество
- Подмножество
- Степень множества (Булеан)
- Универсальное множество
- Выводы
Мы уже знаем, что такое множество — перейдем к тому, можно ли их как-то классифицировать. Другими словами, можем ли мы создавать множества множеств? Существуют различные типы множеств, которые можно определить и классифицировать математически. Именно их мы изучим в этом уроке.
Пустое множество
Если множество не имеет элементов, оно называется пустым или нулевым множеством. Оно обозначается ∅ или {}. Рассмотрим такой пример:
P = {x}
, где x — високосный год между 1904 и 1908
Между 1904 и 1908 годами нет ни одного високосного года. Таким образом, P=∅.
Синглетон
Если множество содержит только один элемент, то оно называется синглетоном или одиночным множеством. Например:
A = {2}
, где 2 — четное простое число
Конечное множество
Если множество не содержит ни одного элемента или содержит определенное количество элементов, оно называется конечным множеством. Все пустые множества также попадают в эту категорию.
Если множество непустое, то оно называется непустым конечным множеством:
A = {x}
, где x — месяц в году. Множество A будет состоять из 12 элементовB={y}
, где y — двузначное число. Множество B будет иметь 90 элементов:{10, 11, 12, 13 .... 97, 98, 99}
Бесконечное множество
В отличие от конечного множества, оно будет иметь бесконечное число элементов. Если данное множество не является конечным, то оно будет бесконечным.
Посмотрим на пару примеров:
A = {x}
, где x — натуральное число. Существует бесконечное множество натуральных чисел. Следовательно, A — бесконечное множество.B = {y}
, где y — ордината точки на некой прямой. Существует бесконечное множество точек на прямой. Следовательно, B — бесконечное множество
Подмножество
Если множество A состоит из элементов, принадлежащих множеству B, то A называется подмножеством B.
Возьмем для примера такое множество:
A={-9,13,6}
Перечислим его подмножества:
A= ∅, {-9}, {13}, {6}, {-9,13}, {13,6}, {6,-9}, {-9,13,6}
Степень множества (Булеан)
Степень множества A состоит из всех подмножеств множества A. Она обозначается P(A). Для множества A, состоящего из n элементов, общее количество возможных подмножеств равно 2^n.
Возьмем для примера множество A = {a,b,c}
. Количество элементов (n) в A равно 3.
Таким образом, подмножествами A являются:
{ }
— пустое множество{ a }
{ b }
{ c }
{ a, b }
{ b, c }
{ c, a }
{ a, b, c }
P(A) = { { } , { a }, { b }, { c }, { a, b }, { b, c }, { c, a }, { a, b, c } }
— множество мощности
Получается, в этом примере степень множества равна 2^3 = 8 элементов.
Универсальное множество
Это множество — базовое для всех остальных множеств.
Например, в исследованиях человеческой популяции универсальное множество — это множество всех людей в мире. Множество всех людей в каждой стране можно рассматривать как подмножество этого универсального множества.
Обычно универсальное множество обозначается символом E или U.
Универсальное множество может быть как конечным, так и бесконечным. Натуральные числа — типичный пример бесконечного универсального множества. Множество натуральных чисел выглядит так:
{1,2,3,...}
Здесь знак многоточия ...
означает, что множество продолжается без конца.
Универсальное множество состоит из всех элементов других множеств, присутствующих на диаграмме Венна — иллюстрации, на которых кругами показаны отношения между предметами или понятиями. Пересекающиеся круги имеют общие черты, не пересекающиеся — общих черт не имеют.
Выводы
В этом уроке мы изучили типы множеств. Повторим основные свойства каждого типа:
Пустое или нулевое множество | A = {} | Нет ни одного элемента |
Конечное множество | A = {1,2,3,4} | Ограниченное количество элементов |
Бесконечное множество | A = {x: x — множество всех целых чисел} | Бесконечное число элементов |
Равные множества | A = {1,2,5}, B={2,5,1}, A=B | Два множества, которые имеют одинаковые члены (то есть количество элементов одинаково и все элементы равны) |
Подмножества | A={1,2}, B={1,2,3,4}, тогда A ⊆ B | Множество A называется подмножеством B, если каждый элемент A также является элементом B |
Универсальное множество | A={1,2}, B={2,3}, U = {1, 2, 3} | Множество, которое состоит из всех элементов других множеств, присутствующих на диаграмме Венна |

Остались вопросы? Задайте их в разделе «Обсуждение»
Вам ответят команда поддержки Хекслета или другие студенты
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.