Как отправтиь POST-запрос в PHP?

Самый простой способ сделать POST-запрос это воспользоваться библиотекой cURL.

Простой пример запроса:

<?php
    $ch = curl_init();
    curl_setopt($ch, CURLOPT_URL, "http://www.example.com/api/resource");
    curl_setopt($ch, CURLOPT_POST, 1);
    curl_setopt($ch, CURLOPT_POSTFIELDS, "name=value");
    curl_setopt($ch, CURLOPT_RETURNTRANSFER, true);
    $output = curl_exec($ch);
    curl_close($ch);
    echo $output;
?>

Здесь Как работает cURL в PHP? можно посмотреть как делать запросы в cURL-е.