Исследование функции — Основы линейной алгебры

• Шаг 1. Область определения
• Шаг 2. Точки пересечения с осями координат
• Шаг 3. Экстремумы
• Шаг 4. Интервалы монотонности и выпуклости-вогнутости
• Шаг 5. Наклонные асимптоты
• Шаг 6. Поведение на бесконечности
• График и асимптоты
• Выводы

В предыдущих уроках мы подробно разобрали, как и зачем анализировать функции. Теперь давайте соберем все пройденные методы в единый алгоритм.

Исследование функции — это процесс, в ходе мы определяем ее свойства и особенности. Во время него мы выясняем такие характеристики, как:

• Область определения
• Точки пересечения с осями координат
• Экстремумы
• Интервалы монотонности и выпуклости-вогнутости
• Наклонные асимптоты
• Поведение на бесконечности

Чтобы получить полное представление о функции, нужно подробно и внимательно рассмотреть каждый пункт. В этом уроке мы посмотрим, как это работает на практике. Мы возьмем одну функцию и постараемся разобраться во всех нюансах.

Для начала вспомним некоторые термины:

• Функция — это соответствие между элементами двух множеств, где каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества
• Область определения — это множество всех значений, которые может принимать аргумент функции
• Область значений — это множество всех значений, которые может принимать функция

Далее в уроке мы будем рассматривать в качестве примера такую функцию:

$f(x) = \frac{x³ - 2x² - 5x + 6}{x² - 3x + 2}$

Эта функция является рациональной функцией, то есть отношением двух многочленов.

Шаг 1. Область определения

Это множество всех значений, которые может принимать аргумент функции. По ней можно понять, на каких значениях аргумента функция определена. Чтобы найти область определения функции, нужно найти значения $x$, при которых знаменатель равен $0$.

У нашей функции знаменатель равен $0$ при $x = 1$ и $2$. Следовательно, область определения нашей функции — это все $x$, кроме $1$ и $2$

Шаг 2. Точки пересечения с осями координат

Это точки, в которых график функции пересекает оси координат. Чтобы найти точки пересечения с осями координат, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.

В нашем случае:

• Числитель равен $0$ при $x = 1$ и $-2$
• Знаменатель равен $0$ при $x = 1$ и $2$

Следовательно, у нас есть две точки пересечения с осями координат:

• $(1,0)$
• $(-2,0)$

На этом этапе мы выясняем, где функция определена и в каких точках ее график пересекается с осями координат. Это позволяет более точно анализировать функцию и понимать ее свойства:

Шаг 3. Экстремумы

Экстремумы — это точки, в которых функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Чтобы найти экстремумы функции, нужно найти точки, в которых производная равна $0$. Для данной функции производная равна:

$f'(x) = \frac{5x² - 18x + 11}{(x - 1)^2(x - 2)^2}$

Решим уравнение $f'(x) = 0$ и получим точки экстремума:

• $x_1 = \frac{9 - \sqrt{13}}{5}$
• $x_2 = \frac{9 + \sqrt{13}}{5}$
• $x_3 = 1$

Шаг 4. Интервалы монотонности и выпуклости-вогнутости

Это интервалы, на которых функция:

• Возрастает или убывает
• Является выпуклой или вогнутой

Чтобы найти эти интервалы, нужно найти производную и вторую производную функции:

• Первая производная $f'(x) = \frac{5x² - 18x + 11}{(x - 1)^2*(x - 2)^2}$
• Вторая производная $f''(x) = \frac{20x³ - 102x² + 128x - 32}{(x - 1)^3*(x - 2)^3}$

Знаки этих производных позволяют определить интервалы монотонности и выпуклости-вогнутости. К примеру:

• На интервале $(x_1, x_2)$ функция возрастает и выпукла
• На интервалах $(0, x_1)$ и $(x_2, +\infty)$ функция убывает и вогнута

Шаг 5. Наклонные асимптоты

Это прямые, которые описывают поведение функции при приближении к бесконечности. Они используются для анализа функций и определения их поведения на больших расстояниях.

Как найти наклонную асимптоту? Это можно сделать, разделив числитель на знаменатель, используя длинное деление. В нашем случае, мы получаем:

$f(x) = x - 1 + \frac{4}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}$

Разделив числитель на знаменатель, мы можем определить наклонную асимптоту. В нашем случае, наклонная асимптота — это прямая $y = x - 1$.

Но отметим, что наклонные асимптоты могут быть не единственными. Например, функция может иметь вертикальную асимптоту, которая описывает поведение функции при приближении к определенному значению. Поэтому при анализе функций мы учитываем все аспекты их поведения на больших расстояниях.

Шаг 6. Поведение на бесконечности

Продолжим изучать нашу функцию и мы посмотрим, как она ведет себя в пределе, когда ее аргумент стремится к бесконечности.

В нашем случае, функция $y = x$ будет стремиться к бесконечности вместе с аргументом $x$. Это пример линейной функции, которая имеет постоянный наклон и неограниченный рост при приближении к бесконечности.

Интересно отметить, что существуют и другие виды функций, которые могут вести себя по-разному на бесконечности — например, стремиться к конечному пределу или иметь горизонтальные и вертикальные асимптоты.

График и асимптоты

Все ключевые параметры нашей функции изображены на этом графике:

График функции, вертикальные асимптоты, точки пересечения с осями координат, точки экстремума, точки перегиба, наклонная асимптота и дополнительные точки

Здесь мы видим, что функция имеет:

1. Вертикальную асимптоту при $x = 1$ и $x = 2$
2. Точки пересечения с осями координат находятся в точках $(1,0)$ и $(-2,0)$
3. Экстремумы в трех точках:
   • $(1/5, -19/25)$
   • $(3 + (sqrt13) / 5, 13 - 9 (sqrt13) / 25)$
   • $(3 - (sqrt13) / 5, 13 + 9 (sqrt13) / 25)$

Выводы

Исследование функции — это важный процесс, который помогает понять ее свойства и поведение. Надеемся, что этот урок поможет вам лучше понять, как исследовать функции и что искать при анализе их свойств. Напомним, что при исследовании функции стоит обращать внимание на каждый пункт. Только так можно получить полное представление о функции и правильно анализировать ее свойства.

Самостоятельная работа

Задача 1

Исследуйте функцию f(x) = (2x - 1)/ (x^2 - 4x + 3).

Найдите:

• Область определения
• Точки пересечения с осями координат
• Экстремумы
• Интервалы монотонности и выпуклости-вогнутости
• Наклонные асимптоты
• Поведение на бесконечности

Постройте график функции с помощью любой программы для построения графиков. Определите все ключевые параметры функции на графике.