Производные — это одно из фундаментальных понятий математического анализа. Они помогают работать с векторными функциями и показывают, как изменяется функция в каждой точке графика.
Знание производных полезно не только математикам, но и программистам в области машинного обучения, аналитикам данных, физикам, экономистам, социологам и всем специалистам, которые изучают изменение параметров во времени.
Что такое производная
Производная — это показатель изменения функции в каждой точке графика. Значение производной в каждой точке равно скорости изменения функции в этой точке. Другими словами, производная показывает, как меняется значение функции в каждой точке графика.
В формулах производная обозначается вот таким образом:
- Сама функция — $f(x)$
- Ее производная — $f'(x)$
Рассмотрим еще несколько примеров:
| Функция | Ее производная |
|---|---|
f(x) = x^2 |
f'(x) = 2x |
f(x) = sqrt(x) |
f'(x) = 1 / 2sqrt(x) |
f(x) = e^x |
f'(x) = e^x |
f(x) = ln(x) |
f'(x) = 1 / x |
Производная может показывать возрастание и убывание:
- Если производная положительна, то функция возрастает в данной точке
- Если производная отрицательна, то функция убывает в данной точке
- Если производная равна нулю, то функция в этой точке имеет экстремум — максимум или минимум
Еще производные бывают разных порядков. Они используются для разных задач:
- Производная первого порядка показывает, с какой скоростью меняется функция в каждой точке графика
- Производная второго порядка показывает, с какой скоростью функция меняется не в точках, а в целом. С помощью такой функции можно определять выпуклость или вогнутость кривой в конкретной точке
- Производные более высоких порядков помогают определить форму кривой
Как находить производные
Есть несколько методов нахождения производных функций. Рассмотрим некоторые из них.
Дифференцирование по формулам
С помощью этого метода можно найти производную элементарной функции — то есть функции, которая выражена в виде конечной комбинации элементарных функций (степеней, тригонометрических функций, экспоненты, логарифма и так далее).
Производную элементарной функции можно найти с помощью таких формул:
(x^n)' = nx^(n-1)(sin x)' = cos x(cos x)' = -sin x(tan x)' = sec^2 x(e^x)' = e^x(ln x)' = 1 / x
Дифференцирование сложной функции
С помощью этого метода можно найти производную сложной функции — то есть функции, состоящей из нескольких функций, связанных друг с другом.
Формула для нахождения производной сложной функции выглядит так:
(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x), где f и g — это две разные функции
Дифференцирование по определению
Этим методом можно пользоваться при работе с любой функцией. Чтобы найти производную по этому методу, нужно применить формулу:
где h — это очень маленькое число
Как находить производные разными методами
Описанные выше способы можно сочетать между собой. Другими словами, в большинстве случаев одну и ту же производную можно найти двумя разными путями.
Дифференцирование по формулам и определению
Для примера представим, что нам нужно найти производную функции f(x) = x^2 + 2x.
Это можно сделать двумя путями. Для начала рассмотрим более простой путь — дифференцирование по формулам:
f'(x) = (x^2)' + (2x)' = 2x + 2 = 2(x+1)
Так же можно применить дифференцирование по определению:
Дифференцирование сложной функции и по определению
Возьмем другой пример и найдем производную функции f(x) = sin x^2.
Здесь тоже есть два способа. Первый — дифференцирование сложной функции:
f'(x) = cos x^2 * (x^2)' = 2x * cos x^2
Второй метод — дифференцирование по определению:
Применяя формулу для разности синусов, получаем:
Выводы
В уроке мы познакомились с производной и методами ее нахождения. Это важная задача в математике, которая находит свое применение в различных областях. Далее в курсе мы продолжим изучать производные и принципы работы с ними.
Самостоятельная работа
Задача 1
Найдите производную функции f(x) = sqrt(x) + 1/x двумя разными способами: дифференцированием по формулам и дифференцированием по определению. Сравните результаты.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Применяя дифференцирование по формулам, получаем:
f'(x) = 1/2 * sqrt(x) - 1/ x^2
Применяя дифференцирование по определению, получаем:
Результаты совпадают.
Задача 2
Найдите производную функции
Какой из методов дифференцирования вы считаете самым удобным в этом случае?
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Применяя дифференцирование по формулам, получаем:
В этом случае дифференцирование по формулам удобнее, потому что функция представлена в виде элементарных функций.
Задача 3
Найдите точку экстремума функции f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 и определите, являются ли эти точки максимумом или минимумом.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Найдем производную функции:
f'(x) = 3x^2 - 12x + 9
Найдем корни уравнения f'(x) = 0:
3x^2 - 12x + 9 = 0, x^2 - 4x + 3 = 0, (x-1)(x-3) = 0
Точки экстремума находятся в точках x=1 и x=3.
Определим, являются ли эти точки максимумами или минимумами. Для этого рассмотрим знак производной в окрестности каждой точки:
Проверяем точку $x=1$ и выясняем, что это максимум:
f'(x) > 0приx > 1f'(x) > 0при1 > x > 3f'(x) > 0приx > 3
Проверяем точку x=3 и выясняем, что это минимум:
f'(x) > 0приx > 3f'(x) > 0приx > 3
Итак, точка x=1 является максимумом функции, а точка x=3 — минимумом.
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
