Определитель — Основы линейной алгебры

• Как найти определитель
  • Шаг 1: Выбираем опорную строку
  • Шаг 2: Составляем новую матрицу
  • Шаг 3: Находим минор
  • Шаг 4: Определяем знак
  • Шаг 5: Повторяем шаги для второго элемента опорной строки
  • Шаг 6: Повторяем шаги для третьего элемента опорной строки
  • Шаг 7: Складываем все значения
• Как найти обратную матрицу через определитель
• Выводы

Изначально определители были связаны с самими системами линейных уравнений. Их название уже само по себе говорит, что они буквально что-то определяют. В современной математике определитель показывает, существует ли у матрицы обратная ей матрица. Если определитель равен нулю, то обратной матрицы нет. В этом уроке мы научимся находить определитель и обратную матрицу через определитель.

Еще определитель матрицы часто используется в линейной алгебре и геометрии. Нахождение определителя матрицы может быть сначала запутанным, но после того, как вы сделаете это несколько раз, все становится проще.

Как найти определитель

Мы начнем с матрицы A размером 3*3:

[[1,5,3],[2,4,7],[4,6,2]]

Попробуем найти ее определитель. Его обозначают так:

• |A| — самый частый вариант
• det(A) — такое обозначение тоже встречается, но реже

Далее мы по шагам разберем, как найти определитель.

Шаг 1: Выбираем опорную строку

Для начала выберем одну строку или столбец — это будет наша опорная строка. Это выбор не влияет на результат: мы получим один и тот же ответ независимо от того, какую строку или какой столбец выберем в качестве опоры.

В качестве опорной строки выберем первую строку нашего примера:

[[1,5,3]]

Шаг 2: Составляем новую матрицу

Теперь с помощью опорной строки нужно составить новую матрицу. Она будет размером 2*2, потому что мы вычеркиваем:

• Саму опорную строку
• Столбец, который содержит первый элемент опорной строки (он обозначается как a_11)

Новая матрица будет выглядеть так:

[[4,7],[6,2]]

Шаг 3: Находим минор

Выше мы не только выбрали опорную строку, но и выбрали элемент, с которым будет работать далее. Это a_11 — первый элемент первой строки.

Теперь нам нужно найти минор этого элемента. Минором называют определитель не всей матрицы, а ее части. В нашем случае a_11 — это одновременно:

• И определитель матрицы 2*2
• И минор матрицы 3*3

Как только мы найдем минор, нам будет намного проще найти полный определитель.

Чтобы найти минор, воспользуемся такой формулой:

(a*d) - (b*c)

Эта формула работает для такой матрицы:

[[a,b],[c,d]]

Применим формулу к нашему примеру:

(4 * 2) - (7 * 6) = -34

Это число -34 и есть минор.

Далее умножим полученный минор на выбранный элемент a_11. Получаем:

1*-34 = -34

Шаг 4: Определяем знак

На предыдущем шаге мы нашли минор. Теперь надо найти знак ответа. Для этого надо умножить:

• Либо на 1
• Либо на -1

На что умножать? Все зависит от того, где элемент был в матрице. Вот простая таблица знаков, чтобы отслеживать, какой элемент на что умножать:

[[+,-,+],[-,+,-],[+,-,+]]

Мы выбрали элемент a_11, отмеченный знаком +, поэтому мы умножаем число на 1. Ответ по-прежнему равен -34.

Шаг 5: Повторяем шаги для второго элемента опорной строки

Повторим этот процесс для второго элемента в опорной строке. Вернемся к исходной матрице 3*3:

[[1,5,3],[2,4,7],[4,6,2]]

Вспомним, что в качестве опорной строки мы выбрали первую строку нашего примера:

[[1,5,3]]

С первым элементом опорной строки мы уже поработали — это был элемент a_11. Возьмем следующий элемент — a_12 со значением 5.

Вычеркнем опорную строку и второй столбец, потому что он содержит a_12. Получится такая матрица 2*2:

[[2,7],[4,2]]

Найдем минор этой матрицы по формуле (a*d) - (b*c):

(2*2) - (7*4)= -24

Умножим минор на выбранный элемент матрицы — a_12:

-24 * 5 = -120

Определим знак по таблице знаков. Мы выбрали элемент a_12, который на таблице знаков имеет знак -. Мы должны изменить знак нашего ответа:

(-1)*(-120) = 120

Шаг 6: Повторяем шаги для третьего элемента опорной строки

Попробуйте самостоятельно повторить все те же шаги с третьим элементом (a_13 со значением 3):

• Вычеркните из начальной матрицы опорную строку и третий столбец
• Составьте новую матрицу 2 * 2
• Найдите минор по формуле (a*d) - (b*c)
• Умножьте минор на a_13
• Определите знак по таблице

В итоге у вас должно получится -12.

Шаг 7: Складываем все значения

Последним шагом нужно сложить все значения:

(-34) + 120 + (-12) = 74

Таким образом, мы нашли определитель для нашей матрицы — это 74.

Как найти обратную матрицу через определитель

Продолжим работать с матрицей из примера выше:

[[1,5,3],[2,4,7],[4,6,2]]

Попробуем найти для нее обратную матрицу:

Шаг 1. Найдем определитель матрицы. В нашем случае он равен 74. Если определитель равен нулю, то работа закончена — матрица не имеет обратной величины

Шаг 2. Транспонируем исходную матрицу. Транспонировать — это отразить матрицу относительно главной диагонали. Когда мы транспонируем элементы матрицы, главная диагональ остается неизменной.

Есть и другой способ представить транспонирование:

• Переписать первую строку как первый столбец
• Вторую строку — как второй столбец
• Третью строку — как третий столбец

Это похоже на то, что происходит со значками приложений на планшете, если повернуть планшет из горизонтального положения в вертикальное.

Возьмем нашу исходную матрицу:

[[1,5,3],[2,4,7],[4,6,2]]

И транспонируем ее:

[[1,2,4],[5,4,6],[3,7,2]]

Шаг 3. Вся предварительная работа сделана. Осталось только воспользоваться формулой для нахождения обратной матрицы через определитель.

Матрица миноров, который мы нашли ранее:

[[-34,8,23],[24,-10,-1],[-4,14,-6]]

Транспонируем ее:

[[-34,24,-4],[8,-10,14],[23,-1,-6]]

Найдем обратную матрицу:

A^(-1)=(C^(starT))/(det A) = 1/74 *[[-34,24,-4],[8,-10,14],[23,-1,-6]]

Готово:

A^(-1)=[[-34/74,8/74,23/74],[24/74,-10/74,-1/74],[-4/74,14/74,-6/74]]

Немного упростим:

A^(-1)=[[-17/37,4/37,23/74],[12/37,-5/37,-1/74],[-2/37,7/37,-3/37]]

Выводы

В этом уроке мы научились вычислять определитель и находить по нему обратную матрицу. Кратко повторим необходимые шаги.

Чтобы вычислить определитель матрицы 3 * 3, нужно:

• Выбрать опорную строку
• Вычеркнуть из начальной матрицы опорную строку и первый столбец
• Составить новую матрицу 2 * 2
• Найти минор по формуле (a*d) - (b*c)
• Умножить минор на a_11
• Определить знак по таблице
• Вычеркнуть из начальной матрицы опорную строку и второй столбец
• Составить новую матрицу 2 * 2
• Найти минор по формуле (a*d) - (b*c)
• Умножить минор на a_12
• Определить знак по таблице
• Вычеркнуть из начальной матрицы опорную строку и третий столбец
• Составить новую матрицу 2 * 2
• Найти минор по формуле (a*d) - (b*c)
• Умножить минор на a_13
• Определить знак по таблице
• Сложить все получившиеся значения

Чтобы через определитель найти обратную матрицу, нужно:

• Найти определитель матрицы
• Транспонировать исходную матрицу
• Воспользоваться формулой для нахождения обратной матрицы через определитель

Самостоятельная работа

Задача 1

Рассмотрим матрицу 3 * 3:

[[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]

Найдите определитель этой матрицы.

[[1,2,3]]

[[5,6],[8,9]]

[[4,5,6]]

[[2,3],[8,9]]

[[7,8,9]]

[[2,3],[5,6]]