Интегралы — это одна из важнейших разделов математики, находящая применение во многих областях жизни: в физике, технике, экономике и других научных областях. В линейной алгебре интегралы используются для решения систем дифференциальных уравнений, что позволяет прогнозировать и моделировать различные процессы.
Программисты также активно используют интегралы в своей работе для анализа времени выполнения программ, оптимизации алгоритмов и тестирования программного обеспечения. В этом уроке мы начнем знакомство с этой темой и обсудим, что такое интеграл и как он выглядит.
Что такое интеграл
Интеграл — это математическая операция, обратная к дифференцированию. Другими словами, интеграл позволяет найти функцию, производная которой является заданной функцией. Это очень полезный инструмент, который позволяет находить площадь под кривой на графике функции.
Его используют для решения разнообразных задач в науке и технике. Например, они помогают рассчитать:
- Площадь фигур
- Объем тел
- Центр масс
- Другие характеристики объектов
- Функцию плотности вероятности
- Другие параметры, полезные в решении задач из теории вероятностей
Интеграл обозначается так:
∫
Он может быть определенным или неопределенным:
| Определенный интеграл | ∫[a to b] f(x) dx <!-- $\int _{a}{b} f(x)dx$ --> |
Имеет нижний и верхний пределы интегрирования | Позволяет вычислить точную площадь под графиком функции между пределами |
| Неопределенный интеграл | <!-- $\int f(x)dx$ --> ∫ f(x) dx |
Не имеет нижнего или верхнего предела интегрирования | Помогает находить первообразную функцию |
Выше мы упомянули первообразную — это функция, производная которой равна заданной функции. Например:
- Сама функция: <!-- $f(x) = x2$ -->
f(x) = x^2 - Ее первообразная: <!-- $F(x) = (x3)/3$ -->
F(x) = (x^3)/3
Первообразные активно используются в математических вычислениях и помогают вычислять интегралы.
Существуют различные правила интегрирования, которые позволяют вычислять интегралы более сложных функций. Некоторые из этих правил включают в себя интегрирование по частям, замену переменных и разложение на простые дроби.
В этом уроке мы только знакомимся с интегралами, поэтому не будем вычислять их. Пока просто посмотрим, как выглядят интегралы разных функций. В таблице ниже вы увидите обозначение $C$ — это произвольная постоянная:
| Сама функция | Неопределенный интеграл | Определенный интеграл | Интервал функции |
<!-- $f(x) = x2$ --> f(x) = x^2 |
<!-- $\int _{x}{2}dx = (x3)/3 + C$ --> ∫[x to 2] dx = (x^3)/3 + C |
<!-- $\int _{0}{2} x2dx = [(23)/3 - (03)/3] = 8/3$ --> ∫[0 to 2] x^2 dx = [(8)/3 - 0] = 8/3 |
от $0$ до $2$ |
f(x) = sin(x) |
<!-- $\int sin(x)dx = -cos(x) + C$ --> ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C |
<!-- $\int _{0}{Pi/2}sin(x)dx = 1$ --> ∫[0 to pi/2] sin(x) dx = 1 |
от $0$ до $Pi/2$ |
f(x) = e^x |
<!-- $\int _{e}{x}dx = ex + C$ --> ∫[e to x] dx = e^x + C |
<!-- $\int _{0}{1} exdx = e - 1$ --> ∫[0 to 1] e^x dx = e - 1 |
от $0$ до $1$ |
Выводы
В этом уроке мы рассмотрели основные понятия, правила интегрирования и примеры интегралов функций. Но это только начало. В следующих уроках мы углубимся в тему интегралов:
- Выясним, в чем разница между двойным и тройным интегралом
- Разберем таблицу интегрирования
- Научимся оптимизировать решения задач
Самостоятельная работа
Задача 1
Вычислите определенный интеграл <!-- $\int_{0}{2} x3dx$ --> ∫[0 to 2] x^3 dx и напишите подробное решение.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Имеем определенный интеграл <!-- $\int_{0}{2} x3dx$ --> ∫[0 to 2] x^3 dx. Используем формулу для определенного интеграла:
∫[a to b] f(x)dx = F(b) - F(a), где F(x) первообразная функции f(x)
Находим первообразную функции f(x) = x^3:
F(x) = (x^4)/4
Тогда определенный интеграл <!-- $\int_{0}{2} x3dx$ --> ∫[0 to 2] x^3 dx равен:
(2^4)/4 - (0^4)/4 = 4
Ответ: ∫[0 to 2] x^3 dx = 4
Задача 2
Найдите первообразную функции f(x) = cos(x) и напишите подробное решение.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Имеем функцию f(x) = cos(x). Найдем ее первообразную функцию, используя формулу для неопределенного интеграла:
∫f(x)dx = F(x) + C, где C — произвольная постоянная
Первообразная функции f(x) = cos(x) равна:
F(x) = sin(x) + C
Ответ: ∫cos(x)dx = sin(x) + C
Задача 3
Вычислите определенный интеграл ∫[-1 to 1] (x^2 - 1) dx и напишите подробное решение.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Имеем определенный интеграл <!-- \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)dx --> ∫[-1 to 1] (x^2 - 1) dx. Используем формулу для определенного интеграла:
∫[a to b] f(x)dx = F(b) - F(a), где F(x) — первообразная функции f(x)
Находим первообразную функции f(x) = x^2 - 1:
F(x) = (x^3)/3 - x + C
Тогда определенный интеграл <!-- \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)dx --> ∫[-1 to 1] (x^2 - 1) dx равен:
((1^3)/3 - 1) - ((-1^3)/3 - (-1)) = -4/3
Ответ: -4/3.
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
