• Что такое монотонность функции
• Как монотонность функции связана с ее производной
• Как определить монотонность
• Выводы

В этом уроке мы познакомимся с монотонностью функции — одно из важнейших понятий в математике. Это понятие определяет, как функция меняет свое значение при изменении аргумента.

С ее помощью мы лучше понимаем поведение функции на определенных интервалах, что помогает разбираться в математических теоремах и решать практические задачи. Например, монотонность может помочь:

• Изучить ценовой график акций на бирже и подобрать идеальное время для покупки или продажи
• Определить оптимальную скорость движения автомобиля, чтобы минимизировать расход топлива

Что такое монотонность функции

С точки зрения монотонности функция может быть в одном из трех состояний:

• Монотонно возрастающей на интервале, если при увеличении аргумента значение функции увеличивается
• Монотонно убывающей на интервале, если при увеличении аргумента значение функции уменьшается
• Постоянной, если функция не изменяет свое значение при изменении аргумента

Монотонность функции можно определить по ее производной на интервале:

• Если производная положительна, то функция монотонно возрастает
• Если производная отрицательна, то функция монотонно убывает
• Если производная равна нулю, то функция может быть постоянной или иметь экстремумы

Кстати, напомним, что в математике интервал — это часть числовой прямой, содержащая все числа между двумя заданными числами. Интервал может быть открытым или закрытым. Рассмотрим на примерах:

• Закрытый интервал [a, b] содержит все числа между a и b, включая граничные значения a и b
• Открытый интервал (a, b) содержит все числа между a и b, не включая границы
• Полуоткрытые интервалы (a, b] и [a, b) —содержат все числа между a и b, включая только одну из границ

Когда мы говорим об интервале в контексте функций, мы подразумеваем значения переменных.

Как монотонность функции связана с ее производной

Связь монотонности функции с ее производной заключается в том, что знак производной функции позволяет определить монотонность функции на интервале.

Для примера представим, что мы исследуем, как площадь квадрата зависит от длины его стороны. Мы хотим узнать, на каком интервале площадь квадрата будет монотонно возрастать с увеличением его стороны. Для этого можно использовать производную функции площади квадрата.

Для начала определимся с обозначениями. Пусть f(x) — функция, которая описывает площадь квадрата с длиной стороны x. Тогда производная функции f'(x) равна 2x.

Знак производной показывает, как функция меняет свое значение при изменении аргумента:

• Если производная положительна на интервале (a, b), то функция монотонно возрастает на этом интервале
• Если производная отрицательна на интервале (a, b), то функция монотонно убывает на этом интервале
• Если же производная равна нулю в точке c, то функция имеет экстремум в этой точке

Мы рассматриваем интервал x > 0. На нем видим, что производная f'(x) положительна, поэтому функция f(x) = x^2 монотонно возрастает. Эту информацию можно использовать, чтобы определить, на каком интервале длин сторон квадрата следует выбирать длину стороны, чтобы максимизировать его площадь.

В общем, умение определять монотонность функции полезно во многих задачах — особенно, если они связаны с оптимизацией параметров объектов или процессов. Кроме того, монотонность функции может иметь физическую интерпретацию — например, показывать скорость изменения объема жидкости в зависимости от времени.

Как определить монотонность

Посмотрим, как монотонность работает на практику и научимся определять ее. Для этого мы будем следовать такому алгоритму:

1. Определим интервал, на котором нужно определить монотонность функции.
2. Найдем производную функции
3. Определим знак производной на интервале — так мы выясним, что функция возрастает, убывает или имеет экстремум
4. Выясним, меняется ли знак производной на интервале — так мы узнаем, монотонна функция или нет

Обратите внимание, что этот алгоритм может не сработать в некоторых случаях — например, если функция не дифференцируема на интервале.

В качестве первого примера рассмотрим такую функцию:

f(x) = x^2

Производная функции f'(x) = 2x положительна на интервале [0, +∞). Поэтому мы можем сделать вывод, что функция монотонно возрастает на этом интервале.

Рассмотрим другую функцию:

f(x) = -x^3

Она монотонно убывает на интервале (-∞, 0], потому что производная функции f'(x) = -3x^2 отрицательна на этом интервале.

И еще один пример:

f(x) = x^2 - 2x + 1

Эта функция имеет экстремум в точке x = 1, потому что производная функции f'(x) = 2x - 2 равна нулю в этой точке. Этот пример показывает, как производная помогает найти экстремумы у функции.

Выводы

Монотонность функции — важное понятие в математике, которое используется во многих теоретических и практических задачах. Она позволяет определить, как функция меняет свое значение при изменении аргумента, и это знание может быть полезно во многих областях, включая физику, экономику и статистику.

В этом уроке мы рассмотрели, что такое монотонность функции и как ее можно определить по производной. В дополнение к примерам выше, можно привести множество других функций, на которых можно продемонстрировать монотонность. Например, функции с различными степенями, тригонометрические функции и логарифмические функции, о которых мы поговорим в следующих уроках.

Самостоятельная работа

Задача 1

Дана функция f(x) = x^2 - 2x + 1. Определите, на каком интервале функция монотонно возрастает, монотонно убывает или имеет экстремум.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

=====

• Производная функции f'(x) = 2x - 2
• Производная равна нулю в точке x = 1, значит, функция имеет экстремум в этой точке
• На интервале (-∞, 1) функция монотонно убывает

* На интервале (1, +∞) — монотонно возрастает

Задача 2

Дана функция f(x) = 3x - 2. Определите, на каком интервале функция монотонно возрастает, монотонно убывает или является постоянной.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

=====

• Производная функции f'(x) = 3

* Производная постоянна на всем интервале, значит, функция монотонно возрастает на любом интервале

Задача 3

Найдите производную функции f(x) = e^x - 1. Определите, на каком интервале функция монотонно возрастает, монотонно убывает или является постоянной.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

=====

• Производная функции f'(x) = e^x

* Производная положительна на всем интервале (-∞, +∞), значит, функция монотонно возрастает на любом интервале

Задача 4

Дана функция f(x) = sin(x). Определите, на каких интервалах функция монотонно возрастает, монотонно убывает или имеет экстремумы.

Нажмите, чтобы увидеть ответ

=====

• Производная функции f'(x) = cos(x)
• Производная равна нулю в точках (2k + 1)pi/2, где k — целое число

Из этого мы делаем выводы:

• На интервале (2kpi, (2k + 1)pi/2) функция монотонно убывает
• На интервале ((2k + 1)pi/2, (2k + 1)pi) функция монотонно убывает
• На интервале (2kpi + pi/2, (2k + 1)pi) функция монотонно возрастает

* На интервале (2kpi, 2kpi + pi/2) функция монотонно возрастает