Формула Ньютона-Лейбница — это основной инструмент дифференциального и интегрального исчисления. Прежде чем мы перейдем к формуле Ньютона-Лейбница, давайте вспомним, что такое дифференцирование и интегрирование.
Дифференцирование и интегрирование
Дифференцирование и интегрирование — это две взаимосвязанные операции, которые позволяют нам изучать функции и их свойства:
- Дифференцирование позволяет находить производную функции. Оно показывает, насколько быстро функция меняется в каждой точке своей области определения
- Интегрирование помогает находить площадь под кривой функции. Оно используется для изучения площади, заключенной между кривой функции и осью абсцисс
Производная функции — это скорость изменения функции в определенной точке. Дифференцирование используется для нахождения этой производной. Производную можно найти через предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента.
Рассмотрим, как это работает на примере. Возьмем функцию y = x^2. Мы можем найти производную этой функции, используя следующую формулу:
dy / dx = 2x
Это означает, что скорость изменения функции y = x^2 в любой точке равна удвоенному значению аргумента x в этой точке.
Дифференцирование позволяет:
- Изучать различные свойства функций — локальные экстремумы, выпуклость и вогнутость
- Использовать производные для оптимизации и других задач
Интегрирование используется для нахождения площади под кривой функции. Если мы нарисуем график функции, мы можем найти площадь под этой кривой, используя интеграл.
Для примера возьмем функцию y = x^2. Мы можем найти площадь под кривой этой функции, используя следующий интеграл:
∫[0 to 1] x^2 dx = 1 / 3
Это означает, что площадь под кривой функции y = x^2 между x = 0 и x = 1 равна 1 / 3.
Интегрирование позволяет нам находить площади под кривыми, объемы тел и длины дуг кривых. Кроме того, интегрирование используется в решении уравнений, а также в статистике и физике.
Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница — это важный инструмент, которые связывает дифференцирование и интегрирование. С ее помощью мы можем найти площадь под кривой и определить функцию по их производным.
Формула утверждает, что интеграл от производной функции равен самой функции. Формально, она выглядит следующим образом:
∫[a to b]f'(x)dx = f(b) - f(a)
Если мы находим интеграл производной функции f'(x) между двумя точками a и b, мы можем найти значение функции f(x) в этих точках, используя формулу.
Давайте рассмотрим, как использовать формулу Ньютона-Лейбница на практике. Для примера возьмем функцию f(x) = x^2. Чтобы найти ее интеграл между x = 0 и x = 2, воспользуемся формулу Ньютона-Лейбница:
Так мы находим площадь под кривой функции y = x^2 между x = 0 и x = 2 — она равна 4.
Выводы
Формула Ньютона-Лейбница — это мощный инструмент для работы с дифференциальным и интегральным исчислением. Она позволяет связать дифференцирование и интегрирование, что делает ее полезной для решения многих математических проблем.
В этом уроке мы дали базовое объяснение, которое не учитывает многих нюансов. Изучить формулу Ньютона-Лейбница во всех деталях вы можете самостоятельно.
Самостоятельная работа
Чтобы закрепить материал, рекомендуем выполнить задание:
Задача 1
Найдите интеграл функции f(x) = sin(x) между x = 0 и x = pi.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Мы можем найти интеграл этой функции с помощью формулы Ньютона-Лейбница
В итоге площадь под кривой функции y = sin(x) между x = 0 и x = pi равна 0
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
