Ранг матрицы — Основы линейной алгебры

• Что такое ранг матрицы
  • Ранг матрицы равен 1
  • Ранг матрицы равен 2
  • Ранг матрицы равен 3
• Зачем искать ранг матрицы
  • Как ранг доказывает возможность решения
  • Как ранг опровергает возможность решения
• Линейная зависимость
• Как найти ранг в сложном случае
• Выводы

Как вы уже могли заменить, линейная алгебра — это не просто набор абстрактных теорем. Она состоит из множества инструментов для работы с уравнениями. В этом уроке мы продолжим изучать эти инструменты и познакомимся с еще одним — рангом матриц.

Что такое ранг матрицы

Ранг — это число, которое обозначает, сколько строк или столбцов являются уникальными. Другими словами, сколько строк или столбцов не состоят из других строк или столбцов. Разберем на примерах, как это работает.

Ранг матрицы равен 1

Для начала возьмем такую матрицу:

[[1,2,3],[3,6,9]]

Попробуем проверить ее строки на уникальность. С первого взгляда видно, что вторая строка в три раза больше первой. Умножим первую строку на 3:

[[1,2,3]]*3=[[3,6,9]]

Мы убедились, что в этой матрице первую строку можно представить в виде второй. Значит, уникальная строка всего одна, и ранг тоже равен 1.

А что насчет столбцов этой же матрицы? Посмотрим на нее еще раз:

[[1,2,3],[3,6,9]]

Мы видим, что здесь уникальный столбец тоже один:

• Второй столбец можно представить в виде первого, если умножить его на 2
• Третий столбец можно представить в виде первого, если умножить его на 3

Таким образом, столбцы также показывают, что ранг только единице. Так и запишем:

rank[[1,2,3],[3,6,9]]=1

На самом деле, строки и столбцы всегда совпадают по рангу. Когда мы говорим о строках, все то же самое можно сказать и о столбцах. Поэтому нам не нужно решать обе задачи.

Ранг матрицы равен 2

Возьмем еще один пример:

[[1,2,3],[0,2,2],[1,4,5]]

Проверим уникальность строк:

• Первая строка уникальна
• Вторая строка тоже уникальна — она не состоит из первой или третьей строки. Нет такого числа, на которое можно умножить или разделить, чтобы получить из нее другую строку
• Третья строка не уникальна — она состоит из первой и второй строки, если сложить их

Судя по строкам, ранг равен 2. Ранг по столбцам всегда совпадает, поэтому ответ готов:

rank[[1,2,3],[0,2,2],[1,4,5]]=2

Ранг матрицы равен 3

Посмотрим еще один пример. Здесь все довольно просто, поэтому мы не будем обсуждать его подробно. В этом примере все строки и столбцы уникальны, поэтому ранг равен 3:

rank[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]=3

Зачем искать ранг матрицы

Ранг многое говорит нам о матрице. Он подсказывает, можем ли мы решить систему линейных уравнений. Если ранг равен числу переменных, то у уравнения существует единственное решение.

Как ранг доказывает возможность решения

Посмотрим на примере, как это работает. Представим, такое условие задачи:

• 2 яблока и 3 груши стоят 7 долларов
• 3 яблока и 3 груши стоят 9 долларов

Перепишем это условие задачи в виде системы уравнений:

{(2a+3g=7),
(3a+3g=9)
:}

В этой системе две переменные — a и g. Запишем эту систему как матрицу:

[[2,3,7],[3,3,9]]

Проверим ранг этой матрицы. Нет такого числа, на которое можно умножить или разделить, чтобы из первой строки получить вторую. Значит, строки уникальны — ранг равен 2.

В этой задаче 2 переменные и ранг 2. Количество переменных и ранг совпадают, поэтому мы делаем вывод, что у задачи есть решение.

Как ранг опровергает возможность решения

Теперь немного поменяем условие задачи:

• 2 яблока и 3 груши стоят 7 долларов
• 4 яблока и 6 груш стоят 14 долларов

Перепишем это условие задачи в виде системы уравнений:

{(2a+3g=7),
(4a+6g=14)
:}

В этой системе две переменные — a и g. Запишем эту систему как матрицу:

[[2,3,7],[4,6,14]]

Проверим уникальность строк этой матрицы:

• Первая строка уникальна
• Вторая строка не уникальна — она совпадает с первой строкой, умноженной на два

Значит, ранг этой матрицы равен 1. При этом в задаче 2 переменные. Количество переменных и ранг не совпали — значит, задачу решить нельзя. Так мы заранее узнали, что система уравнений не имеет решения, поэтому мы не стали ее решать и сэкономили время.

Линейная зависимость

В примерах выше мы говорили об уникальности столбцов и строк. Ту же самую уникальность в математике обозначают еще одним термином — линейная независимость.

Сопоставим уже знакомый термин с новым понятием:

• Когда мы говорили, что строка уникальна — мы имели в виду, что она линейно независима
• Когда мы говорили, что строка не уникальна — мы имели в виду, что она линейно зависима. Например, если мы умножаем первую строку на x и получаем вторую строку, то вторая строка линейно зависима от первой

Другими словами, при линейной зависимости значения зависят друг от друга — из значений первой строки мы можем получить значения второй.

Все эти принципы будут работать, даже если мы представим матрицу как набор точек на графике.

Возьмем такой пример:

Опишем векторы так:

v⃗a=2v⃗v, поэтому v⃗w=v⃗u+2v⃗v

Здесь мы видим, что вектор v⃗w линейно зависит от v⃗u и v⃗v.

Также обратите внимание, что:

• Векторы v⃗u и v⃗v линейно независимы — мы не можем представить v⃗u в виде v⃗v или наоборот
• То же самое верно для v⃗v и v⃗w
• То же самое верно для v⃗u и v⃗w
• При этом v⃗w, v⃗u и v⃗v вместе линейно зависимы

Используя только векторы v⃗u и v⃗v, мы можем достичь любого места на плоскости. Когда векторы линейно независимы и охватывают все пространство, их называют базисом этого пространства.

В нашем случае векторы v⃗u и v⃗v — это базис плоскости, потому что двумерное пространство часто называют плоскостью. Именно поэтому v⃗u и v⃗v так же полезны, как и оси x,y. То же самое можно сказать о любых двух линейно независимых векторах в двумерной плоскости.

Самая простая пара линейно независимых векторов — это (1,0) и (0,1). Вместе они образуют матрицу 2*2:

[[1,0],[0,1]]

По сути, они образуют привычные оси x,y:

А теперь посмотрим на самые простые линейно независимые векторы в трехмерном пространстве. Матрица будет выглядеть так:

[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]

А так выглядит сам график:

Показать четырехмерное пространство на картинке не получится, но сама матрица выглядит так:

[[1,0,0,0],[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1]]

Как найти ранг в сложном случае

Если речь идет о более сложных вычислениях, обычно ранг вычисляют с помощью программного обеспечения для поиска ранга. Существуют алгоритмы, которые играют со строками и столбцами и в итоге находят ранг.

Но в некоторых случаях мы можем найти его самостоятельно. Для квадратной матрицы может помочь определитель. Если он не равен нулю, то:

• Все строки или столбцы линейно независимы
• И при этом ранг матрицы равен количеству строк

Посмотрим, как это работаем на практике. Возьмем для примера такую матрицу:

[[1,2,3,4],[0,2,2,0],[1,0,3,0],[0,1,0,4]]

Попробуем определить, являются ли векторы линейно независимыми.

Для начала воспользуемся алгоритмом из урока об определителе. Получим:

1(2(3*4-0*0)-2(0*4-0*1)+0(0*0-3*1))-\ 2(0(3*4-0*0)-2(1*4-0*0)+0(1*0-3*0))+\ 3(0(0*4-0*1)-2(1*4-0*0)+0(1*1-0*0))-\ 4(0(0*0-3*1)-2(1*0-3*0)+2(1*1-0*0)) = 8 +

Определитель ненулевой, поэтому все векторы должны быть линейно независимыми. Таким образом, ранг равен числу строк или столбцов, то есть 4. Получается, что это базис для четырехмерного пространства: используя эти четыре вектора, мы можем охватить все четырехмерное пространство.

Обратите внимание на два момента:

• Ранг не может быть больше, чем наименьшая размерность матрицы — например, для матрицы 2*4 ранг не может быть больше 2
• Ранг всегда равен как минимум 1. Единственное исключение — это нулевая матрица. Ее ранг будет равен нулю, потому что она вся состоит из нулей

Выводы

Матрица — это важная концепция в линейной алгебре. Она формирует основу для понимания более детальных тем, которые мы будем разбирать далее в курсе. Сегодня мы познакомились с рангом матрицы, который помог нам еще лучше понять матрицы. Далее в курсе мы часто будем анализировать системы уравнений, в том числе с его помощью.

Самостоятельная работа

Задача 1

Для каждой из следующих матриц, посчитайте ее ранг и определите, являются ли ее столбцы линейно независимыми.

Матрица 1:

[[0, 1, 2],
[1, 2, 3],
[2, 3, 4]]

Матрица 2:

[[1, 2, 3, 4, 5],
[2, 4, 6, 8, 10],
[3, 5, 7, 9, 11],
[4, 8, 12, 16, 20]]

Матрица 3:

[[1, 2, 3],
[2, 4, 6],
[3, 6, 9],
[4, 8, 12]]

Задача 2

Решите систему уравнений:

{
    2x + 3y = 5,
    4x + 6y = 10
}

Определите, имеет ли система решение. Если да, то представьте его в виде упорядоченной пары.

{
2x + 3y = 5,
4x + 6y = 10
}

[[2, 3, 5],
[4, 6, 10]]