Правила дифференцирования — Основы линейной алгебры

• В чем разница между производной и дифференциалом
• Основные правила дифференцирования
• Разные подходы к определению производной
• Выводы

Ранее в курсе мы уже познакомились с производной — полезным инструментом для решения задач, связанных с оптимизацией функций и определением экстремумов. Сегодня мы продолжим изучать эту тему и обсудим дифференцирование — процесс нахождения производной функции. Другими словами, мы научимся определять скорость изменения функции в каждой точке.

В чем разница между производной и дифференциалом

Кроме производной, у функции существует еще и дифференциал. В этих терминах легко запутаться, поэтому обсудим отличия подробнее:

• Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции в каждой точке
• Дифференциал функции показывает, как меняется значение функции при очень маленьком приращении аргумента

Рассмотрим, как это работает на таком примере:

Например, если y = f(x), то dy = f'(x)dx, где:

• dy — дифференциал функции
• f'(x) — производная функции
• dx — приращение аргумента функции

Выше мы столкнулись с еще одним термином — приращение функции.

Давайте представим, что мы изучаем движение машины с помощью некой функции f. В нашем случае эта функция описывает расстояние, которое машина проходит за определенные промежутки времени — например, за часы.

Чтобы узнать расстояние, мы можем изменять время в пути — посмотреть сначала расстояние за 1 час, потом — за 2 часа, и так далее. В этом случае приращение — это изменение расстояния, которое происходит из-за того, что мы незначительно увеличиваем или уменьшаем время движения.

То же самое можно сказать и про другие функции. В целом, приращение функции — это разность между значением функции в точке x + dx и значением функции в точке x, где dx — приращение аргумента функции. Иными словами, если мы немного изменим значение аргумента функции, то значение самой функции тоже изменится на некоторую величину.

Чтобы лучше понимать приращение, нужно изучить дифференциальное исчисление — оно позволяет находить производные функций и использовать их в различных задачах.

Вспомним обозначения. Сама запись выглядит так:

y = f(x)

В этой формуле:

• f — начальная буква слова «функция» (function)
• y — значение функции
• x — аргумент функции

Рассмотрим пример, чтобы проиллюстрировать разницу между производной и дифференциалом. Представим, что у нас есть такая функция:

y = x^2

В этом примере:

• Производная функции равна y' = 2x. Это означает, что значение функции меняется со скоростью 2x в каждой точке
• Дифференциал функции вычисляется по формуле dy = 2xdx. Это означает, что при изменении аргумента на dx значение функции меняется на 2xdx

Основные правила дифференцирования

Чтобы найти производную функции, необходимо знать ее правила дифференцирования. Рассмотрим основные правила дифференцирования, которые помогут нам решать задачи.

Правило константы — если функция f(x) равна константе, то ее производная равна нулю. При этом если функция зависит от другой переменной, то ее производная может быть отлична от нуля. Например:

f(x) = 5\ f'(x) = 0

Правило степени работает, если функция f(x)=x^n равна x в степени n. В таком случае ее производная равна n * x в степени (n-1). Например:

f(x) = x^3\ f'(x) = 3x^2

Правило суммы и разности работает, если функция f(x) является суммой или разностью двух функций u(x) и v(x). Ее производная равна сумме или разности производных функций u'(x) и v'(x). Например:

f(x) = x^2 + 2x + 1\ f'(x) = 2x + 2

Правило произведения работает, если функция f(x) является произведением двух функций u(x) и v(x). В таком случае производная равна сумме двух выражений:

• u'(x) * v(x)
• u(x) * v'(x)

Например:

f(x) = x^2 * sin(x)\ f'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x)

Правило частного работает, если функция f(x) является частным двух функций u(x) и v(x). В таком случае производная считается так:

• Берем первое выражение — u'(x) * v(x)
• Вычитаем из него второе выражение — u(x) * v'(x)
• Делим результат на квадрат функции v(x)

Так это выглядит на примере:

f(x) = x^2 / sin(x)\ f'(x) = (2x * sin(x) - x^2 * cos(x)) / sin^2(x)

Правило производной сложной функции позволяет находить производную функции, которая является результатом комбинации двух функций. Для этого нужно применить правило дифференцирования и провести замену переменных. Например:

f(x) = sin(x^2)\ f'(x) = 2x * cos(x^2)

Правило производной обратной функции позволяет находить производную обратной функции. Для этого необходимо применить формулу производной обратной функции. Например:

f(x) = sin(x)\ f'(x) = cos(x)

Разные подходы к определению производной

Математика — это точная наука, но и в ней есть место разных толкованиям терминов. К определению производной есть несколько подходов, которые актуальны в разных ситуациях. Рассмотрим эти различия коротко:

• В геометрическом смысле производная функции в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Если производная положительна, то функция возрастает, если отрицательна — убывает, а если равна нулю — имеет экстремум
• В физическом смысле производная функции величины по времени — это скорость изменения этой величины. Например, производная функции координаты по времени — это скорость движения тела
• Дифференциал функции df(x) — это приближение функции при малых изменениях аргумента. Он вычисляется по формуле df(x) = f'(x)dx
• Частная производная — это производная функции, которая зависит от нескольких переменных, по одной из них — при условии, что остальные переменные остаются постоянными. Она позволяет находить скорость изменения функции
• Производные высших порядков позволяют находить скорость изменения производных. Производная первого порядка — это производная от самой функции. Производная второго порядка — это производная от производной первого порядка и так далее. Производные высших порядков используются в математическом анализе, теории вероятности и статистике

Выводы

В этом уроке мы изучили правила дифференцирования — основной инструмент для нахождения производных функций. Умение работать с этими правилами поможет нам решать задачи и анализировать полученные результаты.