Ряды в математике — Основы линейной алгебры

• Как работают ряды чисел
• Как определить, сходится ли ряд?
  • Метод предельного сравнения
  • Метод интегрального признака
  • Метод д’Аламбера
• Абсолютная сходимость
  • Признаки Лейбница, Дирихле и Абеля
• Разложение в ряд Тейлора
• Ряды в теории вероятности
• Ряды в теории чисел
• Выводы

Ряды — это одно из важнейших понятий математики, которое широко используется в различных областях знаний. Ряды позволяют описывать бесконечные суммы чисел, которые могут использоваться для моделирования различных явлений — от запасов ресурсов до скорости изменения определенных величин. В этом уроке мы рассмотрим, что такое ряды и как их определять.

Как работают ряды чисел

Каждый ряд чисел — это некая сумма. Например, ряд всех натуральных чисел от 1 до n можно обозначить так:

1 + 2 + 3 + ... + n

В общем виде записать ряд можно так:

a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...

Каждый элемент этой последовательности называется членом ряда.

Как определить, сходится ли ряд?

Мы можем столкнуться с рядами трех типов:

• Бесконечный — если у нас есть бесконечное число членов
• Сходящийся — если сумма конечна
• Расходящийся — если сумма бесконечна

Другими словами, если сумма ряда конечна, то он сходится, если нет — расходится. Далее мы рассмотрим несколько методов, которые помогают выяснить, сходится ряд или нет.

Метод предельного сравнения

В этом методе мы сравниваем два ряда — то есть ставим между ними знак < или >.

Нам нужно взять наш первый ряд и подобрать к нему еще один. Второй ряд должен быть:

• Сходящимся
• Больше или меньше нашего исходного ряда

Если у нас получается подобрать такой ряд, то наш первый ряд можно считать сходящимся — его сумма конечна. Если мы не можем подобрать ряд для сравнения, то метод не дает ответа.

Посмотрим, как это работает на практике. Для примера возьмем такой ряд:

Попробуем определить, сходится ли этот ряд. Для этого мы подбираем другой сходящийся ряд, который должен быть больше или меньше нашего:

Сравниваем оба ряда:

У нас получилось найти сходящийся ряд, который можно сравнить с исходным — это значит, что наш исходный ряд тоже сходится.

Метод интегрального признака

Он помогает определить сходимость положительных рядов. Чтобы использовать этот метод, нам нужно:

• Найти функцию, которая убывает и неотрицательна
• Найти сходящийся несобственный интеграл этой функции

Если оба условия выполнены, то наш ряд сходится.

Для практики рассмотрим такой ряд:

Для начала подберем функцию f(x), которая убывает и неотрицательна на всей области определения. Можем взять такую функцию:

Еще у нее должен быть сходящийся интеграл:

У нас получилось подобрать функцию с интегралом — значит, нам исходный ряд сходится.

Метод д’Аламбера

Этот метод помогает определить сходимость рядов со строго положительными членами.

Чтобы наш ряд сходился, нужно соблюсти такое условие — предел отношения соседних членов ряда или предел корня n-ной степени из n-го члена ряда должен быть конечным числом. По нему мы определяем:

• Ряд сходится, если это число <1
• Ряд расходится, если это число >1

Здесь в качестве примера мы рассмотрим такой ряд:

Чтобы применить метод д’Аламбера, нужно найти предел:

Дальше мы подсчитываем этот предел:

Теперь сравниваем этот предел с 0:

0<1

В нашем случае предел меньше единицы, поэтому исходный ряд сходится.

Абсолютная сходимость

Мы наблюдаем абсолютную сходимость, когда модуль каждого члена ряда сходится. Если это условие выполняется, то и сам ряд сходится.

Как пример возьмем такой ряд:

Попробуем проверить абсолютную сходимость. Для этого проверим сходимость ряда, составленного из модулей членов исходного ряда:

Мы видим, что этот ряд расходится. Идем дальше:

Этот ряд тоже расходится. Делаем вывод, что исходный ряд не абсолютно сходится.

Признаки Лейбница, Дирихле и Абеля

Это еще один способ проверить сходимость определенных типов рядов. Например:

• Признак Лейбница применяется к знакочередующимся рядам
• Признак Дирихле и Абеля применяется к рядам, если их можно представить в виде суммы двух множителей, при это один из множителей монотонно убывает к нулю

Здесь мы рассмотрим такой знакочередующийся ряд:

Чтобы применить признак Лейбница, нужно проверить, что a_n = 1 / n монотонно убывает к нулю. В этом случае:

Значит, исходный ряд сходится.

Это не все методы определения сходимости рядов, но они являются основными и широко используются в практике. Выбор метода зависит от конкретной ситуации и свойств ряда.

Разложение в ряд Тейлора

Ряды используются в различных областях математики, одно из известных применений — это разложение функций в ряд Тейлора.

Рассмотрим функцию f(x) = cos(x). Ее разложение в ряд Тейлора выглядит так:

Здесь n! обозначает факториал числа n, например:

4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

Используя такое разложение, мы можем вычислить значение функции cos(x) в любой точке. Например, если мы возьмем x=pi/2, то получим:

Аналогично, для функции f(x) = exp(x) разложение в ряд Тейлора имеет следующий вид:

Используя разложение, мы можем вычислить значение функции exp(x) в любой точке. Например, если мы возьмем x=1, то получим:

Ряды в теории вероятности

Еще ряды используются и в теории вероятности. Для примера обсудим задачу о бросках кубика. Если мы бросаем кубик два раза, то общее число исходов равно 6*6=36.

Рассмотрим событие A — «При двух бросках выпадет хотя бы одна шестерка». Чтобы вычислить вероятность этого события, мы можем воспользоваться формулой:

P(A) = 1 - P(Ā) , где Ā — это событие, в котором при двух бросках шестерка не выпала ни разу

Вероятность события Ā равна:

(5/6)^2=25/36

Исходя из этого можно посчитать вероятность события A:

1-25/36=11/36

Ряды в теории чисел

Кроме того, ряды используются и в теории чисел. Например, известна формула, которая позволяет вычислять суммы квадратов натуральных чисел:

Эта формула была открыта Леонардом Эйлером. Она имеет много применений — например, она используется при вычислении площади фигур, заданных графиками кривых.

Выводы

Ряды — это важная тема в математике, которая находит применение во многих науках. Важно научиться определять, сходится ряд или нет — это ключевой навык при работе с рядами. В этом уроке мы рассмотрели несколько методов определения сходимости ряда, но это не все из возможных методов. В следующем уроке поговорим про ряды подробнее и изучи другие полезные инструменты для работы с ними.

Самостоятельная работа

Задача 1

Используйте метод предельного сравнения и определите, сходится ли этот ряд:

Задача 2

Используйте метод интегрального признака и определите, сходится ли этот ряд:

Задача

Используйте метод д’Аламбера и определите, сходится ли этот ряд: