Системы уравнений — Основы линейной алгебры

• Что такое линейные уравнения
• Где применяются линейные уравнения
  • Стоимость поездки
  • Почасовая оплата труда
  • Бюджет на мероприятие
  • Составление прогнозов
• Что такое системы линейных уравнений (СЛАУ)
• Выводы

Невозможно представить современный мир без математики с ее уравнениями, таблицами и моделями. Все эти важные понятия изучает такой раздел математики, как линейная алгебра.

Еще в сферу ее изучения входят системы линейных уравнений, которые сложно анализировать и решать без матриц, векторов и векторных пространств. Аналитики данных, дизайнеры, разработчики, инженеры постоянно используют все эти вещи в своей работе.

Например, алгоритм ранжирования Google в значительной степени опирается на линейную алгебру, когда определяет порядок выдачи результатов в поисковой системы. А еще линейная алгебра широко применяется при разработке движков и графических процессоров.

В этом курсе вы познакомитесь с основными понятиями линейной алгебры. Вы узнаете, что такое векторы, как использовать матрицы, чем линейные операции отличаются от нелинейных и многое другое. В уроках будет не только теория, но и тесты и задания по ней, вы сможете сразу применить новые знания на практике.

Что такое линейные уравнения

Одна из основных задач линейной алгебры — научиться работать с системами линейных уравнений. Давайте обсудим, что такое линейное уравнение и для чего нужны системы уравнений.

Линейные уравнения используют одну или несколько переменных, где одна переменная зависит от другой.

Многие используют линейные уравнения каждый день, даже если делают расчеты в уме. Например, с их помощью можно подсчитать доход за определенный период, вычислить пробег машины или спрогнозировать прибыль. Почти любая ситуация с неизвестной величиной может быть представлена линейным уравнением.

Где применяются линейные уравнения

Рассмотрим, в каких ситуациях можно применять линейные уравнения на практике.

Стоимость поездки

Представим, что нам нужно вычислить стоимость поездки на такси. Мы знаем примерные цены:

• $9 за вызов и подачу машины
• $0,15 за каждый километр в пути

Предположим, что мы не знаем расстояние до пункта назначения. В таком случае мы можем составить линейное уравнение и определить стоимость любой поездки.

Количество километров до пункта назначения обозначим как x, а стоимость поездки — как y. Линейное уравнение будет выглядеть так:

y=0,15x+9

Почасовая оплата труда

Еще одна ситуация, в которой полезны линейные уравнения — сравнение почасовых ставок оплаты труда.

Представьте, что вы устраиваете на работу и рассматриваете предложения двух компаний: первая предлагает оплату 450 долларов в неделю, вторая — 10 долларов в час.

В обоих случаях предстоит работать по 40 часов в неделю. Какая компания предлагает лучшую ставку? Выясним с помощью линейного уравнения:

• Предложение от первой компании выражается как 450 = 40x
• Предложение от второй выражается как y = 10 * 40

Уравнения показывают, что первая компания предлагает более выгодную ставку — $11,25 в час.

Бюджет на мероприятие

Еще линейные уравнения помогают высчитать необходимый бюджет. Для примера возьмем организатора вечеринки, у которого есть ограниченный бюджет на предстоящее мероприятие. Нужно выяснить, во сколько обойдется аренда помещения и оплата питания на человека.

Мы знаем, что аренда помещения стоит $780, а питание на одного человека — $9,75. Можно построить линейное уравнение, которое покажет общую стоимость y для любого количества гостей x. Линейное уравнение можно записать так:

y=9,75x+780

С помощью этого уравнения организатор вечеринки может подставить любое количество гостей и посчитать фактическую стоимость мероприятия с учетом расходов на питание и аренду.

Составление прогнозов

Один из самых полезных способов применения линейных уравнений в повседневной жизни — это составление прогнозов.

Представим, пекарня тратит $200 на начальные расходы, а затем зарабатывает $150 в месяц на продажах. Можно составить линейное уравнение:

y=150x-200

С его помощью мы можем прогнозировать суммарную прибыль от месяца к месяцу. Например, через шесть месяцев комитет может рассчитывать на прибыль в размере $700:

(150 * 6) - 200 = 700

Такое уравнение хорошо помогает предсказать прибыль, хотя факторы реального мира безусловно влияют на точность прогнозов.

Что такое системы линейных уравнений (СЛАУ)

Иногда возникают ситуации, когда нам нужно сравнить данные и увидеть взаимосвязь между ними. При этом в задаче может быть несколько переменных. В таком случае помогают системы линейных алгебраических уравнений.

С помощью системы уравнений мы можем сравнить спрос на товар, найти самый выгодный тариф или рассчитать затраты.

В качестве примера рассмотрим систему двух линейных уравнений:

{
  3x + 2y = 16
  7x +  y = 19
}

Решим ее методом, который изучают в школе. Для начала выразим y из второго уравнения:

y = 19 - 7x

Подставим выражение 19 - 7x вместо y в первое уравнение и найдем x:

3x + 2 * (19 - 7x) = 16\ 3x + 38 - 14x = 16\ - 11x= - 22\ x = 2

Подставим значение 2 вместо x в y = 19 - 7x. Так мы найдем y:

y = 19 - 7(2)\ y = 5

Наш ответ: (2;5)

Так выглядит решение простой системы линейных уравнений. У нас получилось без проблем ее решить, ведь переменных всего две, уравнений — тоже два. Мы смогли выразить одну переменную через другую.

Но что делать, если уравнений больше — например, пять? А если переменных больше двух? Вычислений становится в разы больше. Можно решить обычным методом, но это слишком трудоемко.

Оказывается, систему уравнений можно решить альтернативными способами, которые мы покажем в этом курсе.

Для начала научимся представлять системы в нестандартном виде. Вернемся к нашей системе:

{
    3x + 2y = 16
    7x + y = 19
}

В линейной алгебре есть способ записи системы уравнений в виде таблицы. У нас две переменные x и y. Слева от них находятся коэффициенты — 3,7 для x и 2,1 для y.

Запишем их в виде таблицы:

[[3,2],[7,1]]=[[16],[19]]

Табличная запись коэффициентов называется матричной.

Выводы

В этом уроке мы обсудили линейные уравнения и выяснили, где они применяются на практике. Также теперь вы знаете, что такое системы уравнений и матричная запись СЛУ.

Далее в курсе мы изучим матричный метод решения СЛАУ, научимся проводить операции с матрицами и узнаем, как они помогают упросить работу с большим объемом данных.