Одна из основных операций математического анализа — это интеграл. Он позволяет вычислять площадь под кривыми, а также объем тел и других важных величин. Чтобы работать с интегралами быстрее и проще, можно использовать специальную таблицу. В этом уроке мы рассмотрим основные принципы работы таблицы и примеры ее использования.
Таблица интегралов
Таблица интегралов – это список формул для вычисления интегралов различных функций. Таблица помогает упростить вычисления, предоставляя нам список интегралов для различных функций. Она позволяет не производить интегрирование самостоятельно, и таким образом экономить время. Но следует учитывать, что таблица содержит не всё, поэтому для некоторых функций придется использовать более сложные вычисления.
Ниже мы приводим несколько примеров интегралов, которые необходимы для работы с таблицей:
∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, гдеn != -1∫ (1/x) dx = ln|x| + C∫ e^x dx = e^x + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C∫ log_a(x) dx = (x*log_a(x) - x)/ln(a) + C∫ sinh(x) dx = cosh(x) + C∫ cosh(x) dx = sinh(x) + C
Общий алгоритм работы с таблицей такой:
- Определить функцию, для которой нужно найти интеграл
- Проверить, есть ли в таблице формула для данной функции
- Если формула есть, то применить соответствующую формулу
- Если формулы нет, то попытаться разложить ее на составные части и применить формулу для каждой части
- Если разложение на составные части невозможно, то попробовать применить методы интегрирования по частям, замены переменной и другие методы
- Если ни один из методов не дает результата, то воспользоваться численными методами для приближенного вычисления интеграла
Пример
Посмотрим, как использовать таблицу на практике. Для примера попробуем найти интеграл функции f(x) = x^3 на интервале [0, 2].
Для начала используем формулу:
∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C
Подставляем нужные значения:
∫ x^3 dx = (x^4)/4 + C
Заменяем верхний и нижний пределы на 2 и 0:
(2^4)/4 - (0^4)/4 = 4
Так мы приходим к ответу — интеграл функции f(x) = x^3 на интервале [0, 2] равен 4.
Выводы
Таблица интегралов — это важный инструмент, который позволяет находить интегралы быстро и без необходимости производить вычисления самостоятельно. В этом уроке мы рассмотрели основные принципы работы таблицы и примеры ее использования.
Самостоятельная работа
Чтобы закрепить материал, рекомендуем выполнить следующие задания:
Задача 1
Найдите интеграл функции f(x) = 1/(x^2) на интервале [1, 2].
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Используем формулу ∫(1/x^2) dx = -1/x + C:
∫(1/x^2) dx = -1/x + C
Заменяем верхний и нижний пределы на 2 и 1 соответственно:
- 1/2 - (-1/1) = 1/2
В итоге мы приходим к такому ответу — интеграл функции f(x) = 1/(x^2) на интервале [1, 2] равен 1/2.
Задача 2
Найдите интеграл функции f(x) = sin(x) на интервале [0, pi/2].
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Используем формулу ∫sin(x) dx = -cos(x) + C:
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
Заменяем верхний и нижний пределы на pi/2 и 0 соответственно:
- cos(pi/2) - (-cos(0)) = 1
В итоге мы приходим к такому ответу — интеграл функции f(x) = sin(x) на интервале [0, pi/2] равен 1.
Задача 3
Найдите интеграл функции f(x) = (x^2 + 1)/(x^3 + 3x) на интервале [1, 2].
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Разложим функцию на простые дроби:
A = (x^2 + 1)/(x+1)(x-2)|x=0 = -1/2B = (x^2 + 1)/x(x-2)|x=-1 = 2C = (x^2 + 1)/x(x+1)|x=2 = 3/5
Тогда:
∫(x^2 + 1)/(x^3 + 3x) dx = (-1/2)ln|x| + 2ln|x+1| + (3/5)ln|x-2| + C
Заменяем верхний и нижний пределы на 2 и 1 соответственно:
(-1/2)ln|2| + 2ln|3| + (3/5)ln|0| - (-1/2)ln|1| + 2ln|2| + (3/5)ln|-1| = 2ln(3/2) + (1/2)ln(2) + (3/5)ln(2)
В итоге мы приходим к такому ответу — интеграл функции f(x) = (x^2 + 1)/(x^3 + 3x) на интервале [1, 2] равен 2ln(3/2) + (1/2)ln(2) + (3/5)ln(2).
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
