Часто математические инструменты используются во множестве различных сфер и областей знания. В этом смысле уравнение касательной — не исключение. Например, оно помогает:
- В физике — определить мгновенную скорость тела в конкретной точке траектории движения
- В экономике — определить маржинальный доход или затраты на производство конкретного объема товара
- В биологии — проанализировать рост популяций и их изменения во времени
Уравнение касательной находит свое применение не только в науках, но и в программировании:
- При разработке алгоритмов оптимизации оно помогает найти направление, в котором функция изменяется быстрее всего
- В компьютерной графике оно помогает найти нормали к поверхности и вычислить отраженный луч света в трассировке лучей
- В работе с долгими вычислениями, можно использовать уравнение касательнойдля аппроксимации сложных функций и таким образом ускорить вычисления
Сегодня мы подробнее познакомимся с этим инструментом и узнаем, как уравнение касательной дополняет те знания, которые вы приобрели ранее в курсе.
Зачем нужно уравнение касательной
Представьте, что у вас есть функция, которая описывает зависимость некоторой величины от другой. Для примера возьмем функцию, которая показывает, как меняется скорость автомобиля в зависимости от времени. Как вы знаете, скорость может меняться со временем, и в каждый момент времени скорость будет разной.
Чтобы лучше понять, как меняется скорость в каждый момент времени, мы можем использовать производную функции — это показатель скорости изменения значения функции в данной точке. Если мы найдем производную функции в какой-то конкретной точке, то сможем понять, насколько быстро значение функции меняется в этой точке.
Но производная функции не всегда позволяет полностью описать характер изменения функции, ведь она показывает только скорость изменения, но никак не определяет ее конкретное значение.
Именно здесь на помощь приходит уравнение касательной. Оно позволяет построить прямую, которая касается графика функции в конкретной точке. Эта прямая пересекает график функции и имеет тот же наклон:
Таким образом, мы можем использовать уравнение касательной и получать более подробную информацию о характере изменения функции.
Как найти уравнение касательной
Уравнение касательной — это уравнение прямой, касающейся графика функции в точке касания.
Уравнение касательной к графику функции в точке (x_0, f(x_0)) имеет вид:
y - f(x_0) = f'(x_0) * (x - x_0) или y = f'(x_0) * (x - x_0) + f(x_0)
В уравнении выше f'(x_0) — это значение производной функции в точке x_0.
Чтобы найти уравнение касательной, нужно выполнить следующие шаги:
- Найти производную функции
f(x) - Найти значение производной в точке касания
x_0 - Подставить найденные значения в формулу уравнения касательной
Посмотрим, как это работает на практике. Для примера возьмем такую функцию:
f(x) = x^2
Попробуем найти уравнение касательной к графику этой функции в точке (1, 1).
Сначала найдем производную функции:
Теперь найдем значение производной в точке x_0 = 1:
f'(1) = 2 * 1 = 2
Используя формулу уравнения касательной, получаем:
y = 2 * (x - 1) + 1\
y = 2x - 1
В итоге мы выяснили, что уравнение касательной к графику функции f(x) = x^2 в точке (1, 1) имеет вид y = 2x - 1.
Обратите внимание, что уравнение касательной может не существовать. Это происходит в следующих случаях:
- В точках перегиба графика функции
- В точках разрыва функции
- В точках, где функция не имеет производной
Выводы
В этом уроке мы изучили уравнение касательной — это важный инструмент для изучения графиков функций. Нахождение уравнения касательной позволяет более подробно изучать свойства графиков и решать задачи как в программировании, так и в других сферах знания.
Самостоятельная работа
Чтобы закрепить материал по уравнению касательной, рекомендуем выполнить следующие задания:
Задача 1
Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = sin(x) в точке pi.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Сначала запишем уравнения касательной в общем виде:
y_k = y_0 + y'(x_0)(x - x0)
По условию задачи x_0 = pi, тогда y_0 = 0. Найдем производную:
y' = (sin(x))' = cos(x)
Cледовательно:
f'(pi) = cos(pi) = -1
В итоге мы приходим к таком результату:
y_k = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)\
y_k=0+-1*(x-pi) или y_k = pi-x
Задача 2
Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) = \ln(x) в точке 1.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Сначала запишем уравнения касательной в общем виде:
y_k = y_0 + y'(x_0)(x - x0)
По условию задачи x_0 = 1, тогда y_0 = 0. Найдем производную:
y'= (ln(x))' = 1/x
Cледовательно:
f'(1) = 1/1 = 1
В итоге мы приходим к таком результату:
y_k = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)\
y_k=0+1*(x-1) или y_k = x-1
Задача 3
Найдите значение производной функции f(x) = x^3 - 3x в точке x = 2.
Нажмите, чтобы увидеть ответ
Сначала запишем уравнения касательной в общем виде:
y_k = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)
По условию задачи x_0 = 2, тогда y_0 = 2. Найдем производную:
y' = (x^3-3*x)' = 3*x^2-3
Cледовательно:
f'(2) = 3*2^2-3 = 9
В итоге мы приходим к таком результату:
y_k = y_0 + y'(x_0)(x - x_0)\
y_k=2+9*(x-2) или y_k = 9*x-16
Для полного доступа к курсу нужен базовый план
Базовый план откроет полный доступ ко всем курсам, упражнениям и урокам Хекслета, проектам и пожизненный доступ к теории пройденных уроков. Подписку можно отменить в любой момент.
