Что делать если метод await javascript завершится с ошибкой?

Можно попробовать добавить блок try...catch. Данная конструкция сначала пытается выполнить инструкции в блоке try, а в случае возникновения ошибки выполняет catch.

Для демонстрации напишем функцию, которая всегда завершается с ошибкой:

const myErrorAsyncFunc = () => {
  return new Promise((_resolve, reject) => {
    // создаём объект с ошибкой, задавая имя ошибки и текст сообщения
    const error = new Error();
    error.name = 'Custom error';
    error.message = 'Ooops!..'
    setTimeout(() => reject(error), 1000);
  });
};

Теперь напишем асинхронную функцию, из которой будем вызывать первую функцию. Если обернуть вызов функции myErrorAsyncFunc() в блок try, то при возникновении в нем ошибки управление без падения программы перейдет в блок catch, где мы сможем обработать полученную ошибку:

const handleError = async () => {
  try {
    const result = await myErrorAsyncFunc();
    console.log(result);
  } catch(err) {
    if (err.name === 'Custom error') {
      console.log(err.message);
    } else {
      console.log('Unknown error!');
    }
  }
};

// вызываем функцию и проверяем 
handleError(); // => Ooops!..