Системы счисления

В этом гайде разберемся, что такое системы счисления, для чего программисты используют непривычные способы для записи чисел и как их понимать.

Содержание

• Что такое системы счисления
• От десятичных чисел к двоичным
• Зачем нужна двоичная система
• Как переводить двоичные числа в десятичные
• Как переводить десятичные числа в двоичные
• Шестнадцатеричная система счисления
• Восьмеричная система счисления
• Конвертация чисел в программах
• Сервисы для перевода из системы в систему
• Заключение

Что такое системы счисления

С давних пор людям нужно было записывать числа. В торговле числа нужны, чтобы знать, сколько товаров есть на складе и сколько денег принесла сделка. Записи о положении небесных тел помогли шумерам составить первый календарь, а календарь, в свою очередь, пригодился, чтобы заранее готовиться к посевным и сбору урожая. Строительные сметы, переписи населения, распределение наследства — числа оказались очень востребованными даже в самых древних государствах.

Так что люди научились записывать числа в незапамятные времена. Небольшие числа легко записывались зарубками или насечками, но если в числе несколько знаков, требуется иная система записи. Эту проблему в разных странах решали по-разному.

Сейчас разные способы записи чисел называются системами счисления.

Систем счисления было придумано довольно много, и даже в наши дни мы используем две системы, возникшие в далёкой древности. Из Древнего Рима к нам пришла римская система счисления, где цифры обозначаются буквами латинского алфавита. За основу римляне взяли количество пальцев на одной руке — 5, и на двух руках — 10. Числа 1, 5 и 10 в римской системе обозначаются буквами I, V и X, и с помощью них можно записать любое число от 1 до 49. Например, VII это 7, а XIX — 19.

От Древних Шумеров мы научились делить дроби на шестьдесят частей. Именно из-за них в нашем часе 60 минут, а в минуте 60 секунд. Шумерская система счисления так и называется — шестидесятеричная. Но, конечно, наиболее привычной выглядит численная запись в системе, которую придумали в Древней Индии. Сейчас ее называют арабской или десятичной системой счисления.

1 месяц·С нуля

Дискретная математика

Дискретная математика для программистов

от 2 400 ₽

Посмотреть →

2 месяца·Для продвинутых

Алгоритмы и структуры данных

Алгоритмы для собеседований

от 2 400 ₽

Посмотреть →

1 месяц·С нуля

Линейная алгебра

Освоите работу с векторами, матрицами и системами уравнений

от 2 400 ₽

Посмотреть →

1 месяц·Для продвинутых

СИКП на Python

Изучите Python на глубоком уровне для решения сложных задач

от 2 400 ₽

Посмотреть →

1 месяц·С нуля

Основы Python

Бесплатно

Посмотреть →

Каталог

Полный список доступных курсов по разным направлениям

От десятичных чисел к двоичным

Разберемся, как устроена десятичная система, на примере произвольного большого числа.

Это четырехзначное число, потому что оно состоит из четырёх цифр. И, поскольку речь идёт о десятичной системе, мы можем использовать десять различных цифр.

Величина, которая скрывается за каждой цифрой, зависит от её позиции, поэтому такую систему счисления называют также и позиционной. Справа мы записываем самые младшие значения — единицы, слева от них десятки, затем сотни, и так далее. Запись 1702 означает буквально следующее.

Цифры, записанные в соседних позициях, различаются в десять раз — это и есть десятичная система. Однако, как мы говорили ранее, привычная нам десятичная система — далеко не единственная. Однако, опираясь на неё, нам будет проще понять принципы работы других систем счисления. Например, для записи того же самого числа 1702 в двоичной системе надо придерживаться тех же правил, но вместо десяти цифр нам потребуется всего две — 0 и 1.

Цифры, записанные в соседних позициях, будут различаться не в десять раз, а в два. То есть там, где в десятичной системе мы видим 1, 10, 100, 1 000, 10 000, в двоичной будут числа 1, 2, 4, 8, 16 и так далее.

Это очень большое двоичное число. Давайте запишем его в привычной форме:

Это число могло бы быть очень большим десятичным числом, потому что состоит из тех же цифр. Чтобы отличать двоичные числа от десятичных, в качестве индекса у них указывают основание системы счисления, то есть 2.

Это особенно важно, когда в тексте одновременно встречаются десятичные и двоичные числа.

Зачем нужна двоичная система

Двоичная система выглядит очень непривычно и числа, записанные в ней, получаются огромными. Зачем она вообще нужна? Разве компьютеры не могут работать с привычной нам десятичной системой?

Оказывается, когда-то они именно так и работали. Самый первый компьютер ENIAC, разработанный в 1945 году, хранил числа в десятичной системе счисления. Для хранения одной цифры применялась схема, которая называется кольцевым регистром, она состояла из десяти радиоламп.

Чтобы записать все числа до миллиона — от 0 до 999 999 — надо шесть цифр, значит, для хранения таких чисел нужно целых 60 ламп.

Инженеры заметили, что если бы они кодировали числа в двоичной системе, то для хранения таких же больших чисел им бы потребовалось всего двадцать радиоламп — в три раза меньше!

Первое преимущество двоичных чисел — простота схем. Второе, и не менее важное — быстродействие. Сложение чисел, хранящихся в кольцевом регистре, требует до десяти тактов процессора на каждую операцию. Сложение двоичных чисел можно выполнить за один такт — то есть в десять раз быстрее.

Группа инженеров, создавших первый компьютер, в 1946 году опубликовала статью, где обосновала преимущество двоичной системы для представления чисел в компьютерах. Первой среди авторов была указана фамилия американского математика Джона фон Неймана. Поэтому сейчас принципы проектирования компьютеров называются архитектурой фон Неймана, хотя это не совсем справедливо по отношению к другим изобретателям компьютера.

При разработке программы с двоичной записью столкнуться довольно сложно: компьютер в подавляющем большинстве случаев сам переводит двоичные числа в десятичные и обратно. Можно долго писать код, даже не подозревая, что внутри компьютера данные хранятся каким-то особым образом.

Зачем изучать двоичную систему, если компьютер делает всю работу за нас? Иногда программистам приходится писать программы, которые работают напрямую с оборудованием. Например, разработчики игр должны знать, как работают видеокарты, чтобы сделать компьютерную графику быстрее. А разработчики операционных систем понимают, как устроены диски, чтобы надежно хранить данные.

Программы, которые работают с железом напрямую, называются системными или низкоуровневыми. Для их создания разработчик должен понимать, как устроен компьютер. Поэтому изучение систем счисления позволяет программисту расширить свой профессиональный диапазон и стать специалистом широкого профиля.

Поэтому для того, чтобы писать сложные системные программы, нужно понимать, как устроена двоичная система счисления.

Что такое Makefile и как начать его использовать

Этот гайд расскажет, как использование инструмента Makefile позволит свести процесс разворачивани...

18 декабря 2024 г.

Посмотреть →

Что такое REST API?

REST API применяется везде, где есть необходимость предоставления данных с сервера пользователю в...

18 декабря 2024 г.

Посмотреть →

Что такое интерпретатор

В этом гайде разберемся, что такое интерпретатор, для чего он нужен и как работает. Этот материал...

18 декабря 2024 г.

Посмотреть →

Как переводить двоичные числа в десятичные

Разберемся, как быстро переводить двоичные числа в десятичные. Для примера потребуется достаточно большое двоичное число, чтобы мы не могли вычислить его на пальцах.

Запишем его в математической записи, помня, что вместо основания 10, мы используем основание 2.

Из этого примера видно, что у всех слагаемых только два множителя — 0 и 1. Слагаемые с множителем 0 равны нулю, поэтому их можно отбросить, оставив только слагаемые с множителем 1.

У слагаемых с множителем 1 этот множитель можно не записывать.

Теперь нетрудно посчитать сумму.

Вывод: число 11010 в двоичной записи — то же самое, что 26 в десятичной.

Ещё раз повторим, как перевести двоичное число в десятичное.

• Записать число в математическом виде
• Отбросить слагаемые с множителем 0
• Сложить результат

Программисты иногда запоминают некоторые степени числа два, чтобы уметь оценивать порядок двоичных чисел. Вы можете подглядывать в эту таблицу:

С помощью этой таблицы можно переводить числа из двоичной системы в десятичную практически «в уме».

Как переводить десятичные числа в двоичные

Эта задача похожа на математическую загадку, и её можно встретить на олимпиаде для школьников.

Чтобы научиться её решать, давайте ещё раз посмотрим на первые натуральные числа в двоичной и десятичной записи.

Обратим внимание на следующую закономерность: все чётные числа — 2, 4, 6 и 8 — в двоичной записи заканчиваются на 0. Все нечётные числа 1, 3, 5, 7 и 9 — на 1. Этому есть простое объяснение — в двоичной записи число 2 это как 10 в десятичной. Если двоичное число делится на два, оно круглое. Математики говорят, что чётные числа делятся на 2 без остатка (или с остатком 0), а нечётные — с остатком 1:

• при делении 4 на 2 остаток 0;
• при делении 5 на 2 остаток 1;
• при делении 6 на 2 остаток 0;
• при делении 9 на 2 остаток 1.

Попробуем перевести десятичное число 26 в двоичную систему. Для этого используем деление уголком на 2.

Если 26 разделить на 2, то в результате получится 13, остаток от деления 0. Продолжаем дальше:

• 13 разделить на 2, в результате получится 6, остаток от деления 1;
• 6 разделить на 2, в результате получится 3, остаток от деления 0;
• 3 разделить на 2, в результате получится 1, остаток от деления 1;
• 1 разделить на 2, в результате получится 0, остаток от деления 1;

Из остатков 1, 1, 0, 1 и 0 складывается нужная нам двоичная запись.

Шестнадцатеричная система счисления

Мы знаем, что компьютер использует числа для представления любой информации. Например, цвета хранятся в виде трёх чисел — яркости красной, зелёной и синей компонентов цвета. На каждый компонент отводится восемь двоичных позиций, поэтому максимальная яркость компонента равна 11111111₂ или 255. Цвет целиком описывается большим 24-х разрядным двоичным числом, например, 11111010 10000000 01110010. Это цвет Salmon из таблицы цветов HTML, он же лососевый цвет.

Старшие восемь позиций отводятся для хранения красного компонента, средние восемь — зелёного, и младшие восемь — синего. Мы видим, что такая запись очень громоздка и неудобна.

Кажется, что цвет удобнее записать как десятичное число 16416882. Хотя оно занимает меньше места, по нему трудно понять, какова яркость каждого компонента.

Чтобы записывать большие двоичные числа, программисты придумали использовать ше��тнадцатеричную систему счисления:

• В десятичной системе десять цифр, а в шестнадцатеричной — шестнадцать
• В десятичной системе соседние позиции отличаются в десять раз, а в шестнадцатеричной — в шестнадцать раз

Как и в случае с двоичной системой, цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 заимствуются из десятичной системы. Но в данном случае этих цифр не хватает: нужно ещё шесть. Их в шестнадцатеричной системе принято обозначать первыми буквами английского алфавита:

Шестнадцатеричная система счисления хороша тем, что группа из четырёх двоичных цифр кодируется одной шестнадцатеричной цифрой. Таким образом, лососевый цвет выглядит как:

В шестнадцатеричной системе счисления он записывается так:

Вначале трудно понять, каков порядок у шестнадцатеричного числа FA. Как и в случае с двоичными числами, программисты обычно помнят порядки круглых шестнадцатеричных чисел. Но можно не запоминать, а подглядывать в эту таблицу:

Чтобы переводить числа из десятичной системы в шестнадцатеричную и обратно, двоичное представление можно использовать как промежуточное. Часто это самый простой способ: двоичное и шестнадцатеричное представления без труда переводятся друг в друга.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система когда-то использовалась наравне с шестнадцатеричной. Из названия понятно, что она использует всего восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Восьмеричная система подходит для представления шести-, девяти- и двенадцатиразрядных двоичных чисел.

Такие числа встречаются нечасто. Один из самых известных примеров использования восьмеричных чисел — права доступа в операционной системе UNIX. Они записываются девятизначным двоичным числом, например 110100100 или 111101100. Запоминать и передавать такие числа неудобно, поэтому программисты предпочитают восьмеричную систему счисления, и записывают права доступа в виде 644 или 754.

Популярные операционные системы Linux и MacOS берут своё начало в UNIX, поэтому там права доступа также задаются восьмеричным числом.

Пользователи UNIX используют команду stat, чтобы узнать права доступа, и команду chmod, чтобы изменить их. На рисунке вы видите, что команды stat и chmod используют восьмеричные числа. Подробный рассказ об этих командах выходит за рамки нашей статьи. Узнаете больше о правах доступа, и о том, что означают эти числа, можно изучив командную строку Linux.

Подводя итог, можно сказать, что восьмеричные числа сейчас используются редко. В подавляющем большинстве случаев программисты используют шестнадцатеричную запись.

Конвертация чисел в программах

Языки программирования умеют работать с числами, записанными в разных системах счисления, и переводить их из одной системы в другую. Для примера рассмотрим работу с разными системами счисления на Python и JavaScript.

Python

Чтобы записать в Python двоичное число, добавьте перед ним префикс 0b. Десятичное число 26 можно записать в виде 0b11010. У шестнадцатеричных чисел префикс 0x, а у восьмеричных — 0o.

print(0b11010) # => 26
print(0x1a) # => 26
print(0o32) # => 26

Во всех случаях, чтобы записать число, мы пишем сначала цифру ноль «0», а затем букву, которая определяет систему счисления. Буква «b» — первая в слове binary (двоичный), а буква «o» — в слове octal (восьмеричный). Буква «x» выбивается из общего правила — это третья буква в слове hexadecimal (шестнадцатеричный).

Функции bin(), hex() и oct() преобразуют число в двоичную, шестнадцатеричную и восьмеричную системы.

print(bin(26)) # => '0b11010'
print(hex(26)) # => '0x1a'
print(oct(26)) # => '0o32'

Благодаря префиксной записи и функциям bin(), hex() и oct(), мы можем преобразовывать числа из любой системы в любую.

print(hex(0o32)) // >= '0x1a'

JavaScript

В JavaScript для представления чисел используются те же самые префиксы, что и в Python. 0b11010, 0x1a и 0o32 — записи числа 26 в двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной системах счисления.

console.log(0b11010) // => 26
console.log(0x1a) // => 26
console.log(0o32) // => 26

Для преобразования чисел в другую систему счисления нужно вызывать метод toString(), передав в качестве параметра основание системы.

Обычно в JavaScript мы можем вызвать метод у объекта с помощью точки. Например, если мы сохранили число в переменной i, мы можем узнать его шестнадцатеричное представление, вызвав метод i.toString(16). Но мы не можем вызывать метод у числа 2 — 2.toString(16) — потому что в JavaScript точка в записи чисел разделяет целую и дробную части. Если дробная часть равна нулю, её можно не записывать, поэтому «2.» означает то же самое, что и «2.0».

В примере вы видите три корректных способа обойти эту проблему, и вызвать метод toString() у числа 26.

console.log((26).toString(2)) // => '11010'
console.log(26..toString(16)) // => '1a'
console.log(26 .toString(8)) // => '32'

Сервисы для перевода из системы в систему

Существует множество сервисов для перевода чисел из системы в систему. Это умеет даже Google. Чтобы перевести двоичное число, например, 11010 в десятичную систему, надо ввести запрос 0b11010 decimal.

Чтобы перевести десятичное число, например, 26 в двоичную систему, надо ввести запрос 26 binary.

Обратите внимание, что Google использует префикс 0b, чтобы отличать двоичные числа от десятичных.

Чтобы перевести десятичное число 137 в шестнадцатеричную систему, введите запрос 137 hex.

Чтобы перевести шестнадцатеричное число 2BAD в десятичную систему, введите запрос 0x2BAD decimal.

Google использует префикс 0x для того, чтобы отличать шестнадцатеричные числа от всех прочих. Чтобы перевести число 121 в восьмеричную систему, введите запрос 121 octal.

Чтобы перевести число обратно, введите в строке поиска запрос 0o171 decimal.

Мы видим, что Google для представления чисел в двоичной, шестнадцатеричной и восьмеричной системах счисления использует такие же префиксы, которые мы видели в примерах на Python и JavaScript.

Заключение

Люди изобрели разные способы записывать числа. Мы называем их системами счисления. Привычный для нас способ записи называется десятичной системой счисления.

Компьютеры, которые работали в десятичной системе, оказались сложными и медленными. Хранение чисел в двоичной системе позволило упростить схемы и ускорить работу компьютеров.

Обычно нам не нужно знать, как именно компьютер хранит числа, потому что он умеет переводить их в привычную нам форму. Но если мы хотим разрабатывать программы, которые работают с оборудованием напрямую — системные утилиты или компьютерные игры, — нужно разобраться, как устроены двоичная и шестнадцатеричная системы.

Существует ряд алгоритмов, которые помогают перевести число из одной системы в другую, но они достаточно запутанные. Проще использовать Google.

Двоичная запись чисел очень громоздкая, поэтому программисты предпочитают записывать числа в шестнадцатеричной системе счисления. Восьмеричная запись чисел сейчас используется очень редко.

Вы можете конвертировать числа из системы в систему на своём любимом языке программирования.