Ошибки внутри промисов обрабатываются крайне просто. Для перехвата достаточно вызвать метод catch и передать туда колбек, принимающий на вход саму ошибку:

import { promises as fs } from 'fs';

const promise = fs.readFile('unkownfile');
promise.catch(e => console.log('error!!!', e));
// => error!!! { [Error: ENOENT: no such file or directory, open 'unkownfile']
// errno: -2, code: 'ENOENT', syscall: 'open', path: 'unkownfile' }

catch, в свою очередь возвращает promise, что позволяет коду восстанавливать после ошибок и продолжать цепочку. Вполне нормально писать код в стиле цепочки, в которой чередуются then и catch.

import { promises as fs } from 'fs';

const promise = fs.readFile('unkownfile')
  .catch(console.log)
  .then( () => fs.readFile('anotherUnknownFile'))
  .catch(console.log);

В большинстве ситуаций, не имеет значения на какой из операций упало. Любое падение должно прерывать текущее выполнение и уходить в блок обработки ошибки. Именно так работает код с try/catch и такое же поведение эмулируется промисами. Дело в том, что если возникла ошибка, то она передается по цепочке первому встреченному catch, а все встреченные на пути then игнорируются. Поэтому код выше можно упростить так:

import { promises as fs } from 'fs';

const promise = fs.readFile('unkownfile')
  .then(() => fs.readFile('anotherUnknownFile'))
  .catch(console.log);

Семантически эти версии кода не эквивалентны. В первом случае вторая операция начнется в любом случае и не важно как закончилась предыдущая. В последнем - если упадет первое чтение файла, то второе не будет выполнено.

Обработка ошибок в промисах

Иногда ошибку нужно генерировать самостоятельно. Самый простой способ сделать это - бросить исключение. К этому тоже надо привыкнуть. Try/catch использовать нельзя (потому что бесполезно), а вот бросать исключения можно. Промис сам их преобразует как надо и отправит по цепочке в поиске вызова catch.

import { promises as fs } from 'fs';

const promise = fs.readFile('unkownfile')
  .then((data) => {
    // делаем что нибудь
    throw new Error('boom!');
  })
  .catch(console.log);

Другой способ, вернуть результат вызова функции Promise.reject, внутрь которой передается сама ошибка:

import { promises as fs } from 'fs';

const promise = fs.readFile('unkownfile')
  .then((data) => {
    // делаем что нибудь
    return Promise.reject(new Error('boom!'));
  })
  .catch(console.log);

Помимо чисто технических моментов, в обработке ошибок, есть и архитектурно-организационные. Если вам приходится реализовывать асинхронные функции, которыми будут пользоваться другие люди, то никогда не подавляйте ошибок:

import { promises as fs } from 'fs';

const readFileEasily = (filepath) => fs.readFile(filepath).catch(console.log);

Перехватив ошибку, вы не оставляете шансов узнать о ней вызывающему коду. Тот кто использует эту функцию, не сможет отреагировать на ошибочную ситуацию. Если обработка ошибки все же нужна, обрабатывайте, но не забывайте генерировать ее снова:

import { promises as fs } from 'fs';

const readFileEasily = (filepath) => fs.readFile(filepath)
  .catch((e) => {
    console.log(e); // В библиотеках так делать нельзя, только в своем коде
    throw e;
  });

// Теперь вызывающий код может обработать ошибку:

readFileEasily('path/to/file').catch(/* ... */);