Процент — Математика для аналитиков

• Процент и процентный пункт
• Простые и сложные проценты
• Эффект низкой базы
• Ошибки при работе с процентами
• Сравнение роста величин
• Выводы

Аналитикам важно уметь работать с процентами, потому что они помогают быстро понимать графики и диаграммы, а также способствуют развитию критического мышления. Кроме того, они используются в налогах, ипотеках, страховых программах.

Еще проценты полезны в повседневной жизни. Например, они подсказывают, какой вариант лучше:

• Один литровый флакон шампуня за 1000 рублей со скидкой в 5%
• Два полулитровых флакона за 475 рублей без скидки

Процент и процентный пункт

Процент – это одна сотая доля любой величины. Рассмотрим два примера:

• Человек состоит на 65% из воды, поэтому на килограмм его веса приходится 650 грамм воды
• Центральный Банк увеличил ключевую ставку с 8% до 10%, поэтому ставка выросла на 25%

Процентный пункт – это способ оперировать процентом как числом, а не долей от числа. В примере выше ключевая ставка выросла на 2 процентных пункта с 8% до 10%.

Простые и сложные проценты

Чтобы разобраться в простых и сложных процентах, рассмотрим такой пример:

• Начальная сумма вклада — 100 000 рублей
• Срок вклада — 3 года
• Ставка — 8% годовых (или 0,08)

Простые проценты начисляют только на ту сумму, которую вы изначально положили на вклад. Их можно вычислить по такой формуле:

Будущий размер вклада = Текущий размер вклада * (1 + n * i), где:

• n — это количество периодов
• i — ставка годовых

Применим формулу и посчитаем сумму вклада с простыми процентами в конце срока:

100000 * (1 + 3 * 0,08) = 100000 * (1 + 0,24)= 100000 * 1,24 = 124000

Сложные проценты начисляются и на внесенные вами деньги, и на уже выплаченный вам процент за депозит. Они рассчитываются так:

Будущий размер вклада = Текущий размер вклада * (1 + i)^n, где:

• n — это количество периодов
• i — ставка годовых

Применим формулу и посчитаем сумму вклада со сложными процентами в конце срока:

100000 * (1 + 0,08)^3 = 100000 * 1,08^3 = 100000 * 1,259712 = 125971,2

Как видите, сложные проценты выгоднее — с ними мы получим на 1971 рубль больше, чем от вклада с простыми процентами.

Эффект низкой базы

Чтобы понять эффект низкой базы, рассмотрим такой пример:

• Вася купил акцию Bloomberg за `20, а потом стоимость выросла на 10%
• Петя купил акцию Amazon за `2000, а потом стоимость выросла на 3%

Попробуем разобраться, кто заработал больше денег:

• Вася заработал 2 доллара = 20 * 0,10
• Петя заработал 60 долларов = 2000 * 0,03

В процентах акции Васи выглядят более выгодно, но в абсолютном выражении в выигрыше Петя. Именно это и есть эффект низкой базы — ситуация, в которой мы видим большие проценты роста при низком росте в абсолютном выражении. Здесь высокие проценты роста объясняются изначально низкой ценой актива. Так же работает ВВП разных стран:

• В процентах ВВП развивающихся стран больше, чем у развитых
• В абсолютном выражении ВВП развитых стран больше, чем у развивающихся

Ошибки при работе с процентами

• Вычислять процент понижения или повышения суммы от новой, а не старой стоимости товара
• Работать с процентом вместо процентного пункта
• Рассчитывать процент годовых через деление доходности на количество лет

Сравнение роста величин

Посмотрим, как посчитать прирост и падение стоимости портфеля ценных бумаг.

Представим, что мы вложили в акции 100 тысяч рублей. За год стоимость портфеля упала на 50%. Теперь он стоит 50 тысяч рублей. Падение составило 50%, при этом новая рыночная стоимость вашего портфеля отличается от старой на 100%. Почему так происходит? Потому что вам нужно взять 2 раза по 50 тысяч, чтобы получилось 100 тысяч.

Могло случиться и по-другому. Представим, что мы вложили 100 тысяч рублей и за год стоимость портфеля выросла на 20% до 120 тысяч рублей. Мы решаем не останавливаться на достигнутом и держим акции еще год. К концу второго года стоимость портфеля падает на 20%. Нам не удалось извлечь прибыль, но мы хотя бы ничего не потеряли — получили 20% и потеряли тоже 20%.

На самом деле, на этом неудачном вложении мы потеряем 4 тысячи, потому что проценты считаются от разных сумм:

• В первый год портфель в 100 тысяч вырос на 20% и стал стоить 120 тысяч
• Во второй год портфель в 120 тысяч упал на 20% и стал стоить 96 тысяч

Выводы

Повторим ключевые выводы урока:

• Процент считается как доля от старой цены товара, а не от новой
• Процент – это доля от числа, а процентный пункт – способ оперировать процентом как числом, а не долей от числа
• Сложные проценты начисляются на внесенные вами деньги и на уже выплаченный вам процент за депозит, а простые – только на внесенные вами деньги
• Эффект низкой базы – это ситуация, при которой большой процентный рост объясняется изначально низкой ценой актива

Дополнительные материалы

1. The Power of Compound Interest
2. Сложный процент
3. Что такое процентный пункт. Объясняем простыми словами
4. Эффект низкой базы