Методы работы с вероятностью — Математика для аналитиков

• Случайное событие
• Вероятность и цена исхода
• Математическое ожидание
• Выборка и генеральная совокупность
• Доверительный интервал
• Дисперсия и стандартное отклонение
• Выводы

О методах работы с вероятностью будет полезно знать всем, кто составляет прогнозы на будущее:

• Статистикам и аналитикам, которые интерпретируют данные от бизнеса
• Инженерам и физикам, которые создают и тестируют различные системы и устройства с помощью вероятностных моделей
• Медикам и биологам, которые оценивают риск осложнений и эффективность лечения с помощью вероятности и доверительных интервалов

Зачем аналитикам разбираться в методах работы с вероятностью:

• Теория вероятностей помогает оценивать вероятность покупки на основе прошлого поведения клиента и других факторов
• Математическое ожидание помогает определить ожидаемую стоимость или доходность инвестиций в определенный актив
• Доверительные интервалы помогают соотнести выборку с реальностью

Случайное событие

Случайное событие — это такое возможное событие, исход которого мы не можем предсказать со стопроцентной уверенностью.

Для примера возьмем кубик с шестью гранями. При броске может выпасть грань с цифрой 3, но мы не знаем наверняка, когда это произойдет. Поэтому нам приходится описывать это событие через вероятность: при броске шестигранного кубика тройка выпадет с вероятностью 1/6.

Вероятность и цена исхода

Вероятность – это соотношение между всеми случаями и теми, в которых происходит интересующее нас событие. Например, если мы подбрасываем монетку, то общее количество исходов равно двум — она может упасть либо орлом, либо решкой. Если мы загадали орла, то количество благоприятных исходов равно 1, а вероятность составляет 1/2 (то есть 50% или 0,5).

Вероятность увидеть орла при броске монеты еще можно назвать ценой исхода. Чем выше цена исхода, тем больше вероятность конкретного события. Цену исхода можно представить в виде математического ожидания.

Математическое ожидание

Математическое ожидание E(X) — это наиболее типичный исход события, то есть среднее значение случайной величины. Чтобы посчитать математическое ожидание, нужно сложить все произведения случайной величины на вероятность встретить это значение в реальности:

E(X) = ∑(xᵢ * P(xᵢ)), где

• P(xᵢ) — вероятность каждого исхода (того, что величина X примет значение xᵢ)
• xᵢ — возможные значения случайной величины (цена каждого исхода)

Выборка и генеральная совокупность

Разницу между этими понятиями изучим на котиках:

• Выборка – это вес тех котиков, которых нам удалось поймать и взвесить
• Генеральная совокупность – это вес всех существовавших котиков

Очевидно, что у нас нет доступа к данным обо всех котиках в мире. Чтобы проверить предположения об этом весе, нужно построить доверительный интервал.

Доверительный интервал

Доверительный интервал — это разброс значений, наиболее приближенный к реальным значениям нашей случайной величины. Он используется, чтобы на основе выборки сделать выводы о распределении в генеральной совокупности.

Представим, что мы хотим оценить средний возраст студентов Хекслета. Можно взять несколько случайных студентов и посчитать средний возраст в этой выборке, но это не поможет выяснить средний возраст в генеральной совокупности всех студентов Хекслета. Чтобы оценить нашу выборку и сделать выводы о генеральной совокупности, мы можем построить доверительный интервал.

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия D(X) — это показатель того, насколько разбросаны числа в наборе. Чем выше дисперсия, тем больше разброс в числах. Дисперсия случайной величины X вычисляется по такой формуле:

M * X^2 - (M * X)^2

Чтобы понять степень разброса чисел, так же полезно посчитать стандартное отклонение — это корень из дисперсии.

Выводы

Повторим ключевые выводы урока:

• Вероятность события — это отношение исходов одного события ко всем возможным исходам
• Доверительный интервал — это интервал со значениями параметра с заданной вероятностью
• Доверительный интервал помогает судить о точности измерений и получаемых результатов
• Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии
• Математическое ожидание – это среднее ожидаемое значение переменной

Дополнительные материалы

1. Как найти дисперсию?
2. Математическое ожидание случайной величины