Поиск в глубину — Алгоритмы на графах

• Список смежности
• Построение графа
• Обход графа в глубину
• Итеративная реализация
• Выводы

Наверняка вы пользовались сайтами для поиска авиабилетов. Вы вводили дату полета и выбирали два города — вылета и прилета. Если бы речь шла только о прямых рейсах, алгоритм поиска был бы простым.

Но есть города, не связанные напрямую — добраться из одного в другой можно только с пересадкой. Простой алгоритм такие маршруты не найдет, поэтому нам нужно что-то более мощное.

В этом уроке мы познакомимся с инструментом, который помогает решать такие задачи. Мы обсудим представление графов в памяти компьютера с помощью списка смежности и поиска в глубину. Они помогут нам строить маршруты и решать другие похожие задачи.

Список смежности

Любой граф состоит из вершин и ребер. В задаче поиска авиабилетов вершины — это города. Если два города связаны авиасообщением, их соединяет ребро:

У каждой вершины есть значение — это название города. Из каждой вершины выходит несколько ребер, которые удобно хранить в массиве:

class Vertex {
  constructor(value) {
    this.value = value
    this.adjacentVertices = []
  }

  addLink(vertex) {
    if (!this.isLinked(vertex)) {
      this.adjacentVertices.push(vertex)
      vertex.adjacentVertices.push(this)
    }
  }

  isLinked(vertex) {
    return this.adjacentVertices.includes(vertex)
  }
}

Класс Vertex хранит одну вершину и массив ссылок на соседние вершины. При создании экземпляра Vertex мы сохраняем значение вершины в поле value и создаем пустой массив смежных вершин adjacentVertices.

В переводе с английского adjacent vertices — смежные вершины. Обычно множественное число образуется с помощью суффикса -s или -es. Вершина (vertex) — это то редкое слово, для которого это правило не работает. По-английски вершины — это vertices, а не vertexes.

В классе есть метод addLink(), который устанавливает связь с другой вершиной:

if (!this.isLinked(vertex)) {
  this.adjacentVertices.push(vertex)
  vertex.adjacentVertices.push(this)
}

Программист может по ошибке вызывать метод addLink() несколько раз для одного и того же города. Чтобы не дублировать вершины в списке смежности, мы убеждаемся, что город не был добавлен ранее — в этом смысл оператора if.

Метод isLinked() проверяет, связаны вершины или нет.

Не бывает так, что самолеты летают только в одну сторону. Добавляя город Б в список смежности города А, мы должны одновременно добавить А в список смежности Б.

Именно так в списках смежности можно хранить неориентированные графы. По сути, мы храним ориентированный граф, вершины которого связаны ребрами, направленными навстречу друг другу, как это показано на рисунке:

В списке смежности мы храним вершину, а не ребро, поэтому внутри if мы добавляем вершины в списки смежности друг друга:

this.adjacentVertices.push(vertex)
vertex.adjacentVertices.push(this)

Написанный нами код уже можно использовать, чтобы хранить информацию об авиасообщениями между городами:

const city1 = new Vertex('Новосибирск')
const city2 = new Vertex('Омск')

city1.addLink(city2)
console.log(city2.isLinked(city1)) // <= true

Построение графа

Нам предстоит работать не с отдельными вершинами, а с графом. Полезно инкапсулировать в одном классе вершины и методы для работы с вершинами:

class Graph {
  vertices = []

  getVertex(value) {
    return this.vertices.find(x => x.value === value)
  }

  addVertex(value) {
    if (this.getVertex(value) === undefined) {
      this.vertices.push(new Vertex(value))
    }
  }

  addEdge(value1, value2) {
    const vertex1 = this.getVertex(value1)
    const vertex2 = this.getVertex(value2)
    if (vertex1 !== undefined && vertex2 !== undefined) {
      vertex1.addLink(vertex2)
    }
  }
}

Метод addVertex() добавляет в граф новую вершину с заданным значением (value) и пустым списком смежности. Перед добавлением метод проверяет, что в графе нет вершины с таким же значением — так мы можем отличать вершины друг от друга. Метод addEdge() добавляет ребро между вершинами.

Пользуясь методами addVertex и addEdge, мы можем построить граф:

const graph = new Graph()

graph.addVertex('Москва')
graph.addVertex('Санкт Петербург')
graph.addVertex('Калининград')
graph.addVertex('Омск')
graph.addVertex('Новосибирск')
graph.addVertex('Якутск')

graph.addEdge('Санкт Петербург', 'Калининград')
graph.addEdge('Калининград', 'Москва')
graph.addEdge('Калининград', 'Якутск')
graph.addEdge('Москва', 'Якутск')
graph.addEdge('Москва', 'Омск')
graph.addEdge('Москва', 'Новосибирск')
graph.addEdge('Омск', 'Новосибирск')

const races = graph.getVertex('Новосибирск').adjacentVertices
console.log(races[0].value) // => 'Москва'

Метод getVertex() возвращает вершину с заданным значением (value). С помощью него мы убеждаемся, что граф построен корректно.

Обход графа в глубину

В реальных системах поиска авиабилетов учитываются разные атрибуты — даты, время прилета и отлета, класс обслуживания, наличие багажа и другие.

Чтобы не усложнять учебный материал, мы решим более простую задачу — построим маршрут. Например, наша программа сможет ответить на вопрос: «Как добраться из Новосибирска в Калининград?». При этом мы будем учитывать не только прямые варианты перелета, но и маршруты с одной, двумя и даже тремя пересадками.

Перед реализацией порассуждаем, как должен работать наш алгоритм. Возьмем для примера перелет из Новосибирска в Калининград:

1. Начинаем обход в глубину с вершины, из которой мы строим маршрут — из Новосибирска
2. Выясняем, что из Новосибирска можно улететь в Омск и Москву
3. Выбираем первое ребро (Омск) и снова смотрим список смежных вершин
4. Выясняем, что из Омска можно улететь в Москву и Новосибирск
5. Следующей точкой выбираем Москву и смотрим список смежных вершин
6. Алгоритм повторяется до тех пор, пока мы не достигнем конечной точки — Калининграда

Просмотренные вершины и есть наш маршрут — Новосибирск, Омск, Москва, Калининград. А теперь усложним задачу и поищем все варианты маршрута:

1. Возвращаемся к предыдущему городу в списке — к Москве
2. Рассматриваем следующую вершину в списке смежности — Якутск
3. Продолжая обход, мы обнаружим новый маршрут — Новосибирск, Омск, Москва, Якутск, Калининград
4. Заканчивая обход списков смежности, мы постоянно возвращаемся к предыдущей вершине. Другими словами, перебрав все рейсы из Москвы, мы откатываемся к Омску, а затем — к Новосибирску

Можно заметить, что простая реализация поиска войдет в бесконечный цикл. Города связаны взаимным авиасообщением. Если мы можем улететь из Новосибирска в Омск, значит, мы можем улететь и обратно. Омск и Новосибирск находятся в списках смежности друг у друга.

Перебирая вершины без дополнительных проверок, мы обнаружим бесконечный цикл: Новосибирск, Омск, Новосибирск, Омск, Новосибирск, Омск…

Чтобы алгоритм не зациклился, нужно по мере обхода графа сохранять вершины, которые мы посетили и отбрасывать их при переборе.

Действия на каждом шаге алгоритма повторяются, поэтому код можно оформить в виде рекурсивной функции:

#recursiveDepthFirstSearch(current, end, visited, routes) {
  visited.push(current);

    if (current === end) {
      const route = visited.join('-');
      routes.push(route);
    } else {
      const neighbours = this.getVertex(current).adjacentVertices;
      for (let i = 0; i < neighbours.length; i += 1) {
        const next = neighbours[i].value;
        if (!visited.includes(next)) {
          this.#recursiveDepthFirstSearch(next, end, visited, routes);
        }
      }
    }

    visited.pop(current);
}

Здесь мы видим рекурсивный метод #recursiveDepthFirstSearch. В его названии есть #, которая обозначает, что он приватный — может быть вызван только из других методов класса Graph.

Метод принимает четыре параметра:

• current
• end
• visited
• routes

Начнем с первых двух. Параметр current содержит значение текущей вершины, а end — значение конечной вершины. Если текущая вершина совпадает с конечной, мы нашли очередной маршрут:

const route = visited.join('-')
routes.push(route)

Сливаем названия городов, разделив их дефисом. Маршрут будет представлять собой строку вида ’Новосибирск-Москва-Калининград'`.

Еще есть переменные visited и routes — это третий и четвертый параметры метода. В visited складываются все посещенные вершины — в нашем случае это названия городов. Объединив эти названия, мы получаем маршрут.

Массив visited тоже заполняется внутри метода. В первой строке мы помещаем в него текущую вершину current, а в последней — удаляем ее. Вершину надо удалять, когда мы откатываемся назад по маршруту, потому что в другой ветке мы снова можем попасть в тот же город, но уже другим путем.

Параметр routes не только входной, но и выходной. Это массив, в который складываются найденные маршруты. Когда метод #recursiveDepthFirstSearch обойдет весь граф, в массиве окажутся все способы добраться из начальной точки в конечную.

Внутри цикла мы перебираем все соседние вершины. Если какая-то из них есть в массиве visited, мы ее пропускаем. В противном случае мы делаем вершину текущей и рекурсивно вызываем метод #recursiveDepthFirstSearch:

const neighbours = this.getVertex(current).adjacentVertices
for (let i = 0; i < neighbours.length; i += 1) {
  const next = neighbours[i].value
  if (!visited.includes(next)) {
    this.#recursiveDepthFirstSearch(next, end, visited, routes)
  }
}

Мы сделали метод приватным, потому что у него есть служебные параметры visited и routes. Для программистов, которые будут пользоваться поиском, сделаем простой метод без лишних параметров:

dfs(start, end) {
  const visited = [];
  const routes = [];

    this.#recursiveDepthFirstSearch(start, end, visited, routes);

    return routes;
}

Выше мы использовали метод dfs() — это deep first search или «поиск в глубину». Вызвав метод dfs() для графа, который мы построили в предыдущем разделе, получим список возможных маршрутов:

console.log(graph.dfs('Новосибирск', 'Калининград'))

Итеративная реализация

Любой рекурсивный алгоритм можно преобразовать в итеративный. В некоторых случаях реализация оказывается простой, но при обходе графа нам придется складывать вершины в стек.

В JavaScript в качестве стека можно использовать обычный массив, у которого есть методы push() и pop():

iterativeDfs(startValue, endValue) {
  const start = this.getVertex(startValue);
  const routes = [];
  const vertices = [{ current: start, visited: [] }];

    while (vertices.length > 0) {
      const top = vertices.pop();
      const { current } = top;
      const visited = [...top.visited, current.value];

    if (current.value === endValue) {
      const route = visited.join('-');
      routes.push(route);
    } else {
      for (let i = 0; i < current.adjacentVertices.length; i += 1) {
        const next = current.adjacentVertices[i];
        if (!visited.includes(next.value)) {
          vertices.push({ current: next, visited });
        }
      }
    }

    return routes;
  }
}

В массив (стек) vertices мы складываем вершины для обхода. Перед циклом while мы помещаем туда начальную вершину, из которой строим маршрут.

В цикле снимаем с вершины стека очередную вершину и проверяем, не является ли она конечной. Достигнув конечного города, добавляем в массив routes очередной обнаруженный маршрут и переходим к следующей вершине на стеке.

Если очередная вершина промежуточная, убеждаемся, что она не встречается в массиве посещенных вершин visited. В стеке могут одновременно находиться десятки вершин — строящиеся маршруты. У каждой из них свой набор посещенных вершин. Чтобы они не путались, мы храним массив visited вместе с вершиной в стеке.

В целом, реализация получается не намного сложнее рекурсивной версии.

Выводы

Повторим ключевые мысли этого урока:

• Для представления графов в памяти компьютеров используют списки смежности
• Граф хранится как список вершин (массив)
• Вершины содержат значение и массив — список смежности, в котором перечислены ссылки на связанные вершины
• Для представления неориентированного графа вершины заносятся в списки смежности друг друга. Это ориентированный граф, у которого каждая пара вершин связана парой встречных ребер
• Поиск в глубину (Deep First Search, DFS) — алгоритм обхода графа, который движется от начальной вершины как можно дальше сначала по первому ребру, потом по второму, и так далее
• Поиск в глубину можно использовать для перебора вершин, чтобы найти вершину с заданным значением. Также можно построить маршрут от вершины до вершины, или построить все возможные маршруты
• Простейшая реализация поиска в глубину — рекурсивная. Мы можем сделать ее итеративной, но тогда придется явно использовать стек
• Если в графе есть циклы, нам во время обхода нужно хранить список посещенных вершин